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Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für beliebige Mengen A1,,An A_{1}, \ldots, A_{n} gilt (für n1) : An=An \left.n \geq 1\right): A_{n}^{\prime}=A_{n}^{\prime \prime} mit
Aj={A1 falls j=1Aj1Aj falls j>1 A_{j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{cc} A_{1} & \text { falls } j=1 \\ A_{j-1}^{\prime} \cup A_{j} & \text { falls } j>1 \end{array}\right.
sowie
Aj={A1 falls j=1AjAj1 falls j>1 A_{j}^{\prime \prime}=\left\{\begin{array}{cc} A_{1} & \text { falls } j=1 \\ A_{j} \cup A_{j-1}^{\prime \prime} & \text { falls } j>1 \end{array}\right.
für 1jn 1 \leq j \leq n


Problem:

Ich weiß nicht wie ich hier die Induktion anwenden soll/wie ich vorgehen soll.

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Hallo,

wenn ich davon ausgehe, dass es sich nicht um eine Spezialvorlesung in Mengenlehre handelt, wo am Anfang elementare Eigenschaften aus Axiomen hergeleitet werden müssen, dann so:

Induktionsanfang aufgrund der Definition: A1=A1A_1'=A_1''.

Wennn nun für eine natürliche Zahl gilt: An=AnA_n'=A_n'', dann:

An+1=AnAn+1=An+1An=An+1An=An+1A_{n+1}'=A_n' \cup A_{n+1}=A_{n+1} \cup A_n'=A_{n+1} \cup A_n''=A_{n+1}''

Dabei wurde zunächst die Kommutativität der Mengenvereinigung und dann die Induktionsvoraussetzung ausgenutzt.

Gruß

Avatar von 14 k

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