Untersuchen Reihen auf Konvergenz:

Question

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Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n !} \)
b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \)
c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}, \quad \) wobei \( \quad a_{n}:=\left\{\begin{array}{ll}2^{-n} & \text { wenn } n \text { gerade, } \\ 3^{-n} & \text { wenn } n \text { ungerade. }\end{array}\right. \)
d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}-2} \)
e) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-\sqrt{n}} \)

Kann mir wer sagen wie ich das machen muss bzw. mir eine Aufgabe vorrechnen ?

Answer 1

Es gibt ja Konvergenzkriterien siehe etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium#Konvergenzkriterien_f%C3%BCr_Reihen

Bei der ersten würde ich das Quotientenkriterium anwenden.

siehe etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium#Aussage

Dann wäre hier zu untersuchen

| a_n+1 / a_n | =  | ((n+2)^2 / (n+1)! )        /    ((n+1)^2 / (n! )           |

             =   | (   (n+2)^2    *  n!   ) /  (   (n+1)! * (n+1)^2  )     |  kürzen

             =  | (  (n+2)^2    ) /  (  (n+1)* (n+1)^2  )    |

=  | (  (n+2)*(n+2)    ) /  (  (n+1)* (n+1)^2  )    |

Der Betrag kann wegfallen, da nichts Negatives dabei ist und

für n gegen unendlich geht das Ganze gegen 0, ist also von einem

gewissen n ab sicherlich betragsmäßig kleiner als 1/2  < 1

==>  Reihe ist konvergent.