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Aufgabe:

Begründe ob surjektiv, injektiv oder bijektiv und gebe bei bijektiv die Umkehrfunktion an.

a) f: [2;∞] -> [2; ∞] mit f(x) = x 2 - 4x+8

b) [-0,5, 0,5] -> [2/3, 2] mit f(x)= x-1/x2-1

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Aloha :)

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmegne genau 1-mal erreicht wird.


zu a) \(\quad f:\,[2;\infty)\to[2;\infty)\)

Für unsere Argumentation formen wir den Funktionsterm etwas um:$$f(x)=x^2-4x+8=(x^2-4x+4)+4=(x-2)^2+4$$Weil eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, ist \(f(x)\ge4\). Damit wird z.B. der Wert \(2\) aus der Zielmenge nicht erreicht. Die Funktion ist nicht surjektiv.

Wegen \(f(1)=5\) und \(f(3)=5\) wird das Element \(5\) der Zielmenge mehr als 1-mal erreicht. Die Funktion ist also auch nicht injektiv.


zu b) \(\quad f:\,\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\to\left[\frac{2}{3};2\right]\)

Wieder formen wir den Funktionsterm zunächst etwas um:$$f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}\quad(x\ne1)$$Da wir mit \((x-1)\) gekürzt haben, gilt die "vereinfachte" Funktionsgleichung nicht für \(x=1\). Da \(1\) jedoch nicht zum Definitionsbereich gehört, kommt uns das nicht in die Quere.

Wegen \(f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}<0\) ist \(f(x)\) in ihrem Definitionsbereich streng monoton fallend, daher muss für die Intervallgrenzen gelten:$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=2\quad\text{und}\quad f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\quad\checkmark$$Das ist offenbar erfüllt. Da weiterhin \(f(x)\) in ihrem Definitionsbereich stetig ist, wird jeder Wert aus der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht. Die Funktion ist surjektiv.

Zur Prüfung der Injektivität nehmen wir an, es gibt 2 Elemente \(a\) und \(b\) aus der Definitionsmenge mit demselben Bild:$$f(a)=f(b)\implies\frac{1}{a+1}=\frac{1}{b+1}\implies a+1=b+1\implies a=b$$Offenbar gibt es keine zwei verschiedenen Elemente aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben. Die Funktion ist daher injektiv.

Da die Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist, ist sie auch bijektiv. Daher existiert die Umkehrfunktion. Zu ihrer Bestimmung vertauschen wir im Funktionsterm \(x\) und \(y\) und lösen nach \(y\) auf:$$x=\frac{1}{y+1}\implies\frac{1}{x}=y+1\implies y=\frac{1}{x}-1$$Die Umkehrfunktion lautet daher:$$f^{-1}:\,\left[\frac{2}{3};2\right]\to\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\,,\,f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-1$$

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