Integralrechnung Graph und X-Achse

Question

könnte mit bitte jemand anhand der Lösungen erklären, wie man bei Teilaufgabe b), e) vorgeht ?

Danke schonmal

Text erkannt:

Berechnen $\mathrm{S}$
13. Für Freizeitaktivitäten im Wassersport wird ein neuer Kanal als Verbindung zwischen zwei Seen angelegt.
a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm $f(x)$ für den recht's abgebildeten Kanalboden.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der abgebildeten Querschnittsfläche des Kanals.
c) Verwenden Sie die Funktion $f$, die den Kanalboden beschreibt, und betrachten Sie den um zwei Einheiten nach unten verschobenen Graphen der Funktion $\mathrm{g}$ mit $\mathrm{g}(\mathrm{x})=f(\mathrm{x})-2$ Die x-Achse beschreibt nun die Wasseroberfläche.
Berechnen Sie mithilfe der Funktion g den Flächeninhalt der Querschnittsfläche.
d) Der Kanal hat eine Gesamtlänge von einem Kilometer. Berechnen Sie das Wasservolum
e) Im Sommer steht das Wasser im Kanal an der tiefsten Stelle 1 m hoch. Bestimmen Sie das Wasservolumen des beschriebenen Kanals im Sommer.

Text erkannt:

13. a) Ansatz: $f(x)=a \cdot x^{2}$ $f(4)=a \cdot 16=2$
also gilt a $=\frac{1}{8}$ Somit ergibt sich $f$ mit $f(x)=\frac{1}{8} x^{2}$
b) $A_{0}=2 \cdot 8-2 \cdot \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{8} x^{2} d x=16-2 \cdot\left[\frac{1}{24} x^{3}\right]_{0}^{4}$
$A_{Q}=16-2 \cdot\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{32}{3}$
Die Querschnittsflãche beträgt $10, \overline{6} \mathrm{~m}^{2}$.
c) $g(x)=\frac{1}{8} x^{2}-2$
$$A_{Q}=\left|\int \limits_{-4}^{4}\left(\frac{1}{9} x^{2}-2\right) d x\right|=\mid\left[\frac{1}{24} x^{3}-2 x\left[_{-4}^{4} \mid\right.\right.$$
$\mathrm{A}_{\mathrm{Q}}=\left|-\frac{16}{3}-\frac{16}{3}\right|=\frac{32}{3}$
d) $1000 \mathrm{~m} \cdot 10, \overline{6} \mathrm{~m}^{2}=10666, \overline{6} \mathrm{~m}^{3}$
Auf $1 \mathrm{~km}$ Lảnge hat der Kanal ein Wasservolumen von etwa $10667 \mathrm{~m}^{3}$.
e) $f(x)=1$ fur $x=\sqrt{8}$ und $x=-\sqrt{8}$ Querschnittsfläche bei 1 m Höhe:
$A=2 \cdot \sqrt{8} \cdot 1-2 \cdot \int \limits_{0}^{\sqrt{8}} \frac{1}{8} x^{2} d x$
$A=2 \cdot \sqrt{8}-2 \cdot\left[\frac{1}{24} x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{5}}=2 \cdot \sqrt{8}-2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \sqrt{8}$
$A=\frac{4}{3} \sqrt{8}-3,77$
Die Querschnittsflàche beträgt bei $1 \mathrm{~m}$ wasse Zoom a $3,77 \mathrm{~m}^{2}$
Das crgibt auf einer Kanallänge von 1 km ein Was . volumen von etwa $3770 \mathrm{~m}^{3}$.

Answer 1

Mit dem Integral berechnet man die braune Fläche im Bereich

von x=0 bis x=4 . Das gibt 8/3. Also im

gesamten Bereich von -4 bis 4 sind es 16/3.

Und das Rechteck mit der Breite 8 und der Höhe 2

hat die Fläche 16.  Also das blaue 16 - 16/3 =  32/3

e) f(x)= 1 ist der Ansatz für die Schnittpunkte der

Parabel mit einer Gerade parallel zur x-Achse

in der Höhe von 1. (Also der Wasserspiegel.)

Dann geht das Wasser als von -√8  bis √8.

Und die Querschnittsfläche bestimmst du dann analog

zu b) allerdings mit dem Integral von -√8  bis √8

oder eben von 0  bis √8 und nimmst das dann doppelt.

Und das Rechteck ist dann ja auch nur noch 2√8 breit

und 1m hoch , also Fläche   2√8 * 1 =  2√8.

Und dann noch Querschnittsfläche mal die Länge

gibt das Volumen.

Comments

Oh gott.... Danke dir

Answer 2

13.b)
8·2 - ∫ (-4 bis 4) (0.125·x²) dx = 32/3 = 10.67 m²

13.e)
f(x) = 0.125·x² = 1 → x = ± √8
2·√8·1 - ∫ (-√8 bis √8) (0.125·x²) dx =8/3·√2 = 3.771 m²
V = 3.771·1000 = 3771 m³