Umformung einer Komplexen Zahl

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{2} z^{2}-\left(\frac{1+3 i}{2}\right) z-1+i=0 \)

Lösen Sie die Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Dank der Hilfe hier im Forum bin ich so weit gekommen:

\( 0,5-1,5 i \pm \sqrt{-0,5 i} \)

Ich habe mir noch überleget, dass man das so umschreiben kann:

$$0,5-1,5i±\sqrt{0,5}*\sqrt{-i}$$

Aber wie kann ich jetzt weiter machen? Das - bei dem i stört, da man ja aus einer Negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.

Comments

Tipp: \((1-\mathrm i)^2=-2\mathrm i\).

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$$\sqrt{-}*\sqrt{i}*\sqrt{0.5}$$

Wolltest du darauf hinaus?

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$$0,5^{\frac{1}{2}}*-i^{\frac{1}{2}}=\frac{-i\frac{1}{2}}{0,5^{-\frac{1}{2}}}$$

So kann man es noch schreiben. Aber das dringt uns auch nichts

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Deine vorletzte Gleichung besagt \(\left(\tfrac12-\tfrac32\mathrm i\right)^2=-\tfrac12\mathrm i\).
Ersetze \(-\tfrac12\mathrm i\)  durch \(\left(\tfrac12-\tfrac12\mathrm i\right)^2\).

Answer 1

$$\frac{1}{2} z^{2}-\left(\frac{1+3 i}{2}\right) z-1+i=0 $$$$ z^{2}-(1+3 i)z-2+2i=0$$$$z_1=(1+3i)/2+ \sqrt{((1+3i)/2)^2+2-2i} $$$$z_1=(1+3i)/2+ \sqrt{-i/2} $$$$z_1=(1+3i)/2+ \sqrt{-i}/\sqrt{2}$$$$z_1=(1+3i)/2-1/2+1/2i$$$$z_1=2i$$

$$z_2=(1+3i)/2+1/2-1/2i$$$$z_2=1+1i$$

Answer 2

\( \sqrt{-0.5i} \) =\( \frac{1-i}{2} \) . Nach dem Ersetzen geht es noch etwas weiter.

Comments

$$\frac{1-i}{2}=0,5-0,5i$$

Z1= $$0,5-1,5i+0,5-0,5i=1-2i$$

und

Z2= $$0,5-1,5i-0,5+0,5i=0-1i$$

So müsste es dann richtig sein. Danke dir Roland. Aber wie bist du von $$\sqrt{-0,5i} \text{  \ nach }\ \frac{1-1}{2}$$ gekommen?

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Quadriere meine Gleichung auf beiden Seiten. Dann siehst du, dass es stimmt. Du kannst natürlich auch den Ansatz \( \sqrt{-0.5i} \) =a+bi quadrieren und dann Realteil und Imaginärteil auf beiden Seiten vergleichen.

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"So müsste es dann richtig sein."

Leider ist es nicht richtig, siehe meine Antwort.