Zeigen Sie, dass die Abbildung g eine Isometrie ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der endlich-dimesnionale unitäre Vektorraum (V,<·,·>) und f ein selbstadjungierter Endomorphismus von V. Zeigen Sie folgende Aussage:

Die Abbildung g:= (f−i·1_V)(f+i·1_V)^(−1) ist eine Isometrie von V.

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass g eine Isometrie ist, wenn gilt: <v.w>= <g(v),g(w)> oder wenn g*=g^(-1) ist. (g* ist ein adjungierter Endomorphismus zu g)

Ich habe versucht mit der ersten Eigenschaft <v.w>= <g(v),g(w)> zu rechnen, weiß allerdings nicht was ich für v und w einsetzen müsste.

Auch mit der Zweiten Eigenschaft komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich von so einer allgemeinen g das inverse bestimmen soll.

Kann mir jemand mit einen Ansatz helfen?

Answer 1

Hallo,

was Du angegeben hast, ist die Eigenschaft eines unitären Operators. Dann muss die angegeben Gleichung für beliebige v,w gelten. Hier ist nur nach Isometrie gefragt, d.h. \(\|g(v)\|=\|v\|\) für beliebige v.

Hier gilt:

$$\langle g(v),g(v)\rangle= \langle(f-i1)(f+i1)^{-1}v,(f-i1)(f+i1)^{-1}v\rangle$$

$$=\langle (f+i1)(f-i1)(f+i1)^{-1}v,(f+i1)^{-1}v\rangle$$$$ =\langle (f-i1)(f+i1)(f+i1)^{-1}v,(f+i1)^{-1}v \rangle$$

Normalerweise kann man die Reihenfolge von Operatoren nicht vertauschen, in der vorigen Zeile geht das wegen der speziellen Gestalt.

$$=\langle(f-i1)^{-1}(f-i1)v,v \rangle  = \langle v,v\rangle$$

Gruß

Comments

oh vielen dank, dass habe ich verstanden!