Lösen Sie die Anfangswertaufgabe

Question

Hallo ich habe ein Problem mit der DGL 1. Ordnung. (AWA / AWP)

Aufgabe:

Lösen Sie die Anfangswertaufgabe für die Funktion y = y(x).

y′ - y • tan(x) = cos(x)       y(0) = 4:

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe wie immer zu lösen allerdings komme ich nur bei dieser Aufgabe nicht auf die richtige Lösung.

Lösung:

y(x) = \( \frac{1}{2} \) • sin x + \( \frac{x + 8}{2 cos x} \)

Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen

Jay

Answer 1

Hallo,

y′ - y • tan(x) = cos(x)

Lösung via Variation der Konstanten"

->homogene DGL:

y′ - y • tan(x)=0

dy/dx= y tan(x)

dy/y= tan(x) dx

y=C₁/cos(x)

----->C₁= C(x)

yh=C₁/cos(x)

yp=C(x)/cos(x)

yp'=C'(x) /cos(x) +C(x) * (tan(x)/cos(x)

-----> Einsetzen von yp, yp, yp' in die DGL

C'(x)= cos^2(x)

C(x)= (cos(x) sin(x)+x)/2

----->

yp=C(x)/cos(x)

yp= sin(x)/2 +x/(2 cos(x))

y=yh +yp

y=C₁/cos(x) +  sin(x)/2 +x/(2 cos(x))

--->AWB: y(0)=4

C₁=4

--->

Lösung:

y= 4/cos(x) +  sin(x)/2 +x/(2 cos(x))

d.h die angegebene Lösung stimmt.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Konnte es nachvollzeihen und komme auf das selbe Ergebnis.

Tausend Dank.