0 Daumen
252 Aufrufe

Hallo ich habe ein Problem mit der DGL 1. Ordnung. (AWA / AWP)


Aufgabe:


Lösen Sie die Anfangswertaufgabe für die Funktion y = y(x).

y′ - y • tan(x) = cos(x)       y(0) = 4:


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe wie immer zu lösen allerdings komme ich nur bei dieser Aufgabe nicht auf die richtige Lösung.

Lösung:

y(x) = \( \frac{1}{2} \) • sin x + \( \frac{x + 8}{2 cos x} \)

Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen

Jay



Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

y′ - y • tan(x) = cos(x)

Lösung via Variation der Konstanten"

->homogene DGL:

y′ - y • tan(x)=0

dy/dx= y tan(x)

dy/y= tan(x) dx

y=C1/cos(x)

----->C1= C(x)

yh=C1/cos(x)

yp=C(x)/cos(x)

yp'=C'(x) /cos(x) +C(x) * (tan(x)/cos(x)

-----> Einsetzen von yp, yp, yp' in die DGL

C'(x)= cos^2(x)

C(x)= (cos(x) sin(x)+x)/2

----->

yp=C(x)/cos(x)

yp= sin(x)/2 +x/(2 cos(x))

y=yh +yp

y=C1/cos(x) +  sin(x)/2 +x/(2 cos(x))

--->AWB: y(0)=4

C1=4

--->

Lösung:

y= 4/cos(x) +  sin(x)/2 +x/(2 cos(x))

d.h die angegebene Lösung stimmt.

Avatar von 121 k 🚀

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Konnte es nachvollzeihen und komme auf das selbe Ergebnis.

Tausend Dank.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community