Summenformel i^3, Obersumme mit limes

Question

Wir haben in der Schule durch die Summenformel für x^3 im Intervall [0;b] bei n Teilen diese Formel heraus : O_n = (b⁴/n²)*(n+1)² /4

^{Dann sollten wir den limes davon bestimmen. Wir hatten dann (b^4 /n^2 )* [n^2*[n*(n+1)]^2] /4 sodass b^4/4 herauskommt. Ich verstehe nicht wie wir darauf gekommen sind bzw. wie wir auf das rot markierte n^2 gekommen sind.}

Answer 1

(b^4 /n^2 )* [n^2*[n*(n+1)]^2] /4 sodass b^4/4 herauskommt.

Das war vermutlich ein klein wenig anders

O_n = (b^4/n^2)*(n+1)^2 /4  war ja die Ausgangsformel.

Und jetzt soll der Limes für n gegen unendlich bestimmt werden.

Vermutlich hat eure Lehrkraft angenommen, dass es recht einsichtig ist,

dass (n+1)/n für n gegen unendlich den Grenzwert 1 hat.

Und hat dann den Term n+1  in der Klammer von (n+1)^2 umgeformt
zu einem Bruch (n+1)/1 und den dann mit n erweitert ( n*(n+1)) / n

oder auch n* (n+1)/n . Das eine n ist also im Nenner !

Und weil es ja quadriert wird , wird aus (n+1)^2 = n^2 * ((n+1)/n) ^2

Und das n^2 wird nun mit dem n^2 im Nenner von b^4 / n^2 gekürzt

und es bleibt ((n+1)/n) ^2 und das hat den Grenzwert 1.

Answer 2

Intervall [0;b] bei n Teilen. Jedes Teil hat die Breite b/n. Die Teilung des Intervalls geschieht mit den Teilstrichen x_k=b·k/n. An jedem Teilstrich finden wir die Höhe eines Rechtecks der Breite b/n und der jeweiligen Höhe (b·k/n)³. Alle diese Rechtecksflächen werden addiert: b/n·(b·1/n)³+b/n·(b·2/n)³+b/n·(b·3/n)³+...+b/n·(b·n/n)³. Aus jedem Summanden wird (b/n)⁴ ausgeklammert. (b/n)⁴ (1³+2³+3³+...+n³). Die Summe in der Klammer findet man in der Formelsammlung. Nach dem Einsetzen der Formel erst umformen (vereinfachen) und dann den Grenzwert für n→∞ bilden.