Abbildung auf Linearität untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität. Bergründen sie ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

F:= ℝ^3 →ℝ^2: F(x1,x2,x3)=(x1+x3,x1x2)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Untersuchen auf Linearität + Begründung

Stichworte: lineare-abbildung,matrix,lineare-algebra,algebra

Aufgabe:

untersuchen sie folgende Abbildung auf Linearität

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

a) Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf linearität. Begründen Sie Ihre Antwort.
(i) \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}: F\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{3}, x_{1} x_{2}\right) \)
(ii) \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: F\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-2 x_{2}, 0,3 x_{1}+4 x_{2}\right) \)

Ich

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(i) wurde doch schon beantwortet:

https://www.mathelounge.de/775567/abbildung-auf-linearitat-untersuchen

Hast du das verstanden? Wenn nicht, kläre das dort (mit Kommentar) ab und stelle dann (ii) als neue Frage ein!

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Doch ich habe die Antwort schon verstanden und die war auch hilfreich. Ich habe aber gehofft,dass mir jemand hilft die Frage durch die Definition zu beantworten also der Additivität und Homogenität.

Answer 1

Ist nicht linear, denn

F(1,1,1) = (2,1)

aber F( 2*(1,1,1) ) = F( 2,2,2) = ( 4,4 )

müsste bei Linearität aber 2*F(1,1,1) = 2*(2,1)= (4,2 ) sein.

Und weil (4,4) ≠(4,2) ist, ist die Abb. nicht linear.

Comments

Danke für die Antwort.

Wenn ich aber zB zeigen will,dass es für F:R3→R2 keine lineare Abbildung gibt,müsste ich dann auch so vorgehen?

Zum Beispiel: F(1,2,3)=(1,1)

F(2*(1,2,3)=F(2,4,6)=(2,4)

2*F(1,2,3)=2*(1,)=(2,2)

(2,4)≠(2,2)

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dass es für F:R3→R2 keine lineare Abbildung gibt

Das stimmt nicht

F(x,y,z) = (x,y)  ist linear.

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Hm,weil meine Aufgabe lautet:

Zeigen Sie,dass es keine lineare Abbildung F:ℝ3→ℝ2 gibt mit F(1,2,3)=(1,1), F(-2,3,1)=(1,0), F(-1,5,4)=(0,1)

Jetzt bin ich verwirrt, wahrscheinlich habe ich die Aufgabe irgendwie falsch verstanden

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Na das ist was anderes. Aber wie kommst du auf

F(2,4,6)=(2,4)

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Ich hatte versucht das an anhand der ersten Antwort von Ihnen zu lösen,aber wie gesagt ich glaube ich habe die ganze Aufgabe falsch verstanden.

Wie muss ich denn an die Aufgabe ran gehen? Also die in der letzten Antwort von mir

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Zeigen Sie, dass es keine lineare Abbildung F:ℝ3→ℝ2 gibt mit F(1,2,3)=(1,1), F(-2,3,1)=(1,0), F(-1,5,4)=(0,1)

Versuche mal einen der gegebenen Vektoren von R^3

durch die anderen beiden darzustellen. Das hier besonders

einfach Z.B. so:

1*(1,2,3)+1*(-2,3,1)=(-1,5,4)        # .

Wäre F linear, dann müsste ja gelten

F(1*(1,2,3)+1*(-2,3,1)) = 1*F(1,2,3)+1*F(-2,3,1)

und wegen F(1,2,3)=(1,1), F(-2,3,1)=(1,0) ist

das gleich 1*(1,1) + 1*(1,0)  =  (2,1)

Wegen # gilt aber

F(1*(1,2,3)+1*(-2,3,1)) = F(-1,5,4) und das ist

ja auch gegeben als (0,1) . Da aber (0,1)≠(2,1) ist,

kann es eine lineare Abb. mit diesen Vorgaben nicht

geben.

Answer 2

Hallo

ich schreibe statt (x1,x2,x3 den Vektor x

dann musst du untersuchen ist F(x+y)=F(x)+F(x) und ist F(a*x)=a*F(x)

und das ist doch nur Schreibarbeit oder?

Gruß lul

Comments

Hallo,

danke für die Antwort.

Ich habe (i) und (ii) jetzt gemacht und (i) ist bei mir nicht linear da die Additivität nicht galt, aber bei (ii) erfüllt die Abbildung beide Voraussetzungen.

Sobald (i) die Additivität nicht erfüllt muss ich damit doch gar nicht weiter rechnen oder?

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ja, richtig, i) ist nicht linear, ii ist linear.

Gruß lul

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Dankeschön :)