Stetige Verteilungen - Verteilungsfunktion und Integrationsgrenze ermitteln

Question

Hallo. Ich habe folgendes Beispiel in Statistik Thema Stetige Verteilungen. Wir haben diese Funktion gegeben, von der wir die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Streuung ermitteln sollen. Ich habe die Lösungen vorliegen weil wir diees in der Vorlesung gemacht haben, jedoch habe ich einen Schritt bei der Verteilungsfunktion nicht verstanden. Die Ausgangsfunktion, also die Dichtefunktion, soll integriert werden. Wenn ich diese integriere, dann erhalte ich nicht ganz die Lösung meines Dozenten (das Ergebnis in grün markiert). Kann mir das jemand bitte erklären.

Im nächsten Schritt muss dann die obere Integrationsgrenze x bestimmt werden. Diese ist x=8. Die grundlegende Vorgehensweise bei der Ermittlung von Integrationsgrenzen habe ich nicht verstanden. Kann mir da jemand bitte ausführlich erklären wie man da vorgeht und dies am besten am Beispiel erklären. Danke für Eure Mühe! LG

Text erkannt:

Beispiel
$$ F(x)=\int \limits_{5}^{x} f(t) d t=\int \limits_{5}^{x} \frac{2}{9}(t-5) d t=\frac{2}{9} \int \limits_{5}^{x} t-5=F(x)=\frac{1}{9}(x-5)^{2} $$

Comments

Text erkannt:

Enoartugsused \( \forall x=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) d x=0 \quad \rightarrow \quad E x=\int \limits_{5}^{8} \frac{2}{9} \cdot x \cdot(x-5) d x \)
Sheuung: \( \left.D^{2} x=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x) d x-\int \limits_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\right]^{2} \rightarrow D^{2} x=\int \limits_{5}^{3} \frac{2}{9} x^{2}(x-5) d x-(\theta x)^{2} \)

Des Weiteren habe ich den Erwartungswert und die Streuung zu ermitteln. Hier habe ich die allgemeinen Formeln, die ich am Beispiel angewendet habe.

Für den Erwartungswert habe ich 7 raus.

Für die Streuung habe ich 0,5 raus.

Stimmen diese Ergebnisse?

Danke

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Bitte meine Schriften beachten, bei der Texterkennung wurden paar Zeichen und Zahlen nicht erkannt. Also nicht berücksichtigen. :)

Answer 1

Aloha :)

Die Dichtefunktion lautet:$$f(x)=\frac{2}{9}(x-5)\quad;\quad 5\le x\le a$$

Die Verteilungsfunktion bekommst du durch Integration der Dichtefunktion:$$F(x)=\frac{2}{9}\int\limits_5^x(t-5)\,dt=\frac{2}{9}\,\left[\frac{1}{2}(t-5)^2\right]_5^x=\frac{1}{9}\left[(x-5)^2-(5-5)^2\right]=\frac{1}{9}(x-5)^2$$

Ich komme genau auf das "grüne" Ergebnis. Ich weiß jetzt nicht, ob das deine Lösung oder die vom Prof ist.

Die Verteilungsfunktiion \(F(x)\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable \(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(x\) annimmt:$$P(X\le x)=F(x)$$Bei \(100\%\) Wahrscheinlichkeit, bzw. hier bei \(F(a)=1\), sind also alle möglichen Werte der Zufallsvariablen \(X\) erfasst.$$1\stackrel!=F(a)=\frac{1}{9}(a-5)^2\implies9=(a-5)^2\implies3=a-5\implies a=8$$Der maximale sinnvolle Wert für \(x\) ist also \(x=a=8\).

Comments

Ich weiß wo mein Fehler war. Habe den zu integrierenden Ausdruck nicht als Klammerausdruck betrachtet sondern über die einzelnen Summanden integreriert. ^^

Kann ich bei der Bestimmung der Integrationsgrenze immer von ausgehen, dass die Fläche unter der Dichtefunktion 1 ist? Setze ich also immer die 1 mit der Stammfunktion (der Verteilungsfunktion) gleich?

LG

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Die Fläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(x)\) muss immer auf \(1\) normiert werden. Da die Verteilungsfunktion \(F(x)\) das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, muss also gelten:$$F(x_{\text{max}})-F(x_{\text{min}})=1$$Es kann Verteilungen geben, bei denen \(F(x_{\text{min}})\) nicht null ist. Hier in deinem Fall ist aber \(F(x_{\text{min}}=5)=0\), sodass \(F(x_{\text{max}})=1\) gelten muss.

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Super, danke für deine ausführliche Antwort. Die hat mir sehr geholfen :)

Ich habe weiter oben noch etwas kommentiert. Könntest du mir dazu bitte Rückmeldung geben ob meine Ergebnisse in Ordnung sind? :)

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Der Erwartungswert \(7\) ist richtig. Aber ich habe als Varianz \(0,5\) raus. Die Streuung ist die Wurzel aus der Varianz. Das hast du vermutlich nur übersehen.

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Danke, aber die Streuung ist doch die Varianz. So hatte ich das gemeint.

soweit ich weiß war doch die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz und nicht die Streuung. Steht auch so in unserem Skript.

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Die Varianz ist sicher \(0,5\). Wenn ihr das als Streuung definiert habt, passt ja alles ;)

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Alles klar, danke für deine Mühe!! LG

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Hallo. Ist zwar lange her die Frage und hattest es mir damals sehr gut erklärt :). Nur habe ich mich nun wieder mit dem Thema auseinandergesetzt und speziell diese Frage, die ich hier gestellt habe.

Habe nicht mehr alles drauf und eine Sache ist mir bei deiner Antwort deshalb nicht mehr ersichtlich.

Könntest du dir bitte nochmal die Mühe machen und die Frage und deine Antworten durchlesen, um mir einen kleinen Schritt in unserer Lösung zu erklären. Den Rest verstehe ich noch.

Und zwar:

\(F(x)=\frac{2}{9}\int\limits_5^x(t-5)\,dt=\frac{2}{9}\,\left[\frac{1}{2}(t-5)^2\right]_5^x=\frac{1}{9}\left[(x-5)^2-(5-5)^2\right]=\frac{1}{9}(x-5)^2\) 

Die Dichtefunktion gilt es zu integrieren. Verstehe nicht ganz, warum du die     (t - 5) in \( \frac{1}{2} \) * (t-5)² geschrieben hast. Integriert bekomme ich raus:  \( \frac{1}{2} \) x² - 5x . Soweit so gut. Die \( \frac{1}{9} \) aus deiner Lösung entsteht durch das Multiplizieren mit dem Faktor 2/9 vor dem Integral mit 1/9 aber das betrifft doch nicht die 5x? und warum ist das dann ausgeklammert als Binom?

Wie betrachte ich den Klammerausdruck vorm Integrieren?

LG

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Beim Integral kannst du so rechnen wie ich:

$$\int\limits_5^x(t-5)dt=\left[\frac{1}{2}(t-5)^2\right]_5^x=\frac{1}{2}(x-5)^2=\frac{1}{2}(x^2-10x+25)$$oder du integrierst die beiden Summanden einzeln:

$$\int\limits_5^x(t-5)dt=\left[\frac{t^2}{2}-5t\right]_5^x=\left(\frac{x^2}{2}-5x\right)-\left(\frac{25}{2}-25\right)$$$$=\frac{x^2}{2}-5x+\frac{25}{2}=\frac{1}{2}(x^2-10x+25)$$Wie du siehst, kommt bei beiden Rechenwegen dasselbe raus. Beim ersten ist nur weniger zu schreiben (weshalb ich diesen Weg gewählt habe).

Der Vorfaktor \(\frac{2}{9}\) der Dichtefunktion wird mit dem Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) des Integrals zu \(\frac{1}{9}\) multipliziert.

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Ich danke vielmals, habs wieder verstanden :)

Super ausführlich immer bei Ihnen. LG

Nur haben sie glaube ich einen Tippfehler bei dem 2. möglichen Rechenweg, oder?

statt der 15 am Ende muss eine 25 hin oder nicht?

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Eine Frage hätte ich da noch.

Beim Erwartungswert:

ist die Formel ja: \( \int\limits_{5}^{8} \) f(x)*x dx

Sollte ich das x schon mit f(x) multiplizieren oder erst mit F(x) (Verteilungsfunktion)

Ich komme nicht mehr auf die EX= 7 die ich mal hatte.

Können Sie mir da bitte helfen?

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1) Ja, da musste eine \(25\) statt einer \(15\) stehen, hatte mich vertippt und es korrigiert.

2) Zur Bestimmung des Erwartungswertes muss \(x\) mit der Dichtefunktion \(f(x)\) multipliziert werden, nicht mit der Verteilungsfunktion \(F(x)\).

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Alles klar, danke! :)