Hallo,
Der 'Trick' ist im Grunde immer der gleiche, nur hier eben sehr allgemein anzuwenden. Erweitere mit dem 'konjugierten Term'. Dazu muss man wissen, dass $$\frac {z^k-n^k}{z-n} = \sum_{i=1}^{k} z^{k-i}n^{i-1} $$und das sei auch der Ausdruck, mit dem der Ausgangsterm erweitert wird. Dazu setze ich $$z = \sqrt[k]{(n+a_1)...(n+a_{k})}$$und erhalte:$$\begin{aligned} &\phantom{=} \sqrt[k]{(n+a_1)...(n+a_{k})}-n \\ &= \frac{((n+a_1)...(n+a_{k})) - n^k }{ \sum_{i=1}^{k} z^{k-i}n^{i-1}} \\ &= \frac{(n^k + n^{k-1}\sum_1^k a_i + n^{k-2} \dots ) - n^k}{ \sum_{i=1}^{k} z^{k-i}n^{i-1}} \\&= \frac{ n^{k-1}\sum_1^k a_i + n^{k-2} \dots }{ \sum_{i=1}^{k} z^{k-i}n^{i-1}}\end{aligned}$$nun kürze den Bruch durch \(n^{k-1}\)$$\dots = \frac{\sum_{1}^k a_i + \frac 1n \dots }{\sum_{i=1}^{k} z^{k-i}n^{i-k}} \\ n \to \infty \implies \frac{\sum_{1}^k a_i }{ z^0 n} = \overline a$$lässt man \(n\) nach dem Kürzen gegen \(\infty\) laufen, so gehen alle Summanden im Zähler nach dem ersten Ausdruck gegen 0. Im Nenner bleibt nur der letzte Summand stehen.
Und das Ergebnis ist das Arithmetische Mittel \(\overline a\).
