Wie komme ich auf diesen Grenzwert?

Question

Hi, ich weiß schon, dass der Grenzwert 1/2 ist und ich weiß, auch, dass ich hier die 3. bin. Formel anwenden könnte um auf diesen Grenzwert zu kommen, aber ich verstehe nicht so recht, worin der Fehler in meinem vorherigen Weg liegt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt{n^{2}+1}-n)$$
⇔$$\lim\limits_{n\to\infty}n(n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-n)$$
⇔$$\lim\limits_{n\to\infty}n^2(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1)$$⇒0

Wisst ihr vielleicht wo der Fehler liegt?
LG

Answer 1

Der Fehler liegt im letzten Schluss: Das ist ein

Produkt, bei dem der eine Faktor gegen unendlich und der andere gegen 0 geht.

Dann kann der Grenzwert alles sein.

Besser so:

n*(√n^2+1) - n)

=n*(√n^2+1) - n) *(√n^2+1) + n) / (√n^2+1) + n)

=n*(n^2+1 - n^2 )  / (√n^2+1) + n)

=n  / (√n^2+1) + n)

=n  / (n√(1+1/n^2) + n)

=n  / (n√(1+1/n^2) + n)

=n  / (n (√(1+1/n^2) + 1) )

=1  /  (√(1+1/n^2) + 1)

Dann passt es !

Answer 2

Hallo,

in deinem letzten Term geht der Faktor n^2 gegen unendlich und der zweite Faktor gegen 0.

∞*0 ist jedoch kein bestimmter Ausdruck, daher kannst du so den Grenzwert nicht berechnen.