Question

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität und Surjektivität. Beweisen oder widerlegen Sie die entsprechenden Eigenschaften.
1. f1 : N
2 → Z
f1( (x, y) ) =df x − y
2. f2 : Z
2 → Z
2
f2( (x, y) ) =df (x, 3x)
3. f3 : Z
2 → Z
2
f3( (x, y) ) =df (x, x + y)

Answer 1

So etwa : f1 : N^2 → Z
                  f1( (x, y) ) = x − y

nicht injektiv, da f1(2,2) =f1(1,1)

surjektiv, denn Sei y∈Z .

1. Fall y≥0 dann gilt y∈N und f1(y,0) = y

2. Fall y<0 dann ist -y∈N und f1(0,-y) = y.

also auch surjektiv.

Comments

also nicht injektiv ja, weil f1 0 0 = f1 1 1 aber wieso nimmst du f1 2 2? Da steht ja N^2 und die 2 kann somit ja nie gewählt werden? Sondern nur 0 1 4 9 usw

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N^2 bedeutet N x N also alle Paare mit Komponenten

aus N. Sonst macht ja       f1( (x, y) ) keinen Sinn .

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Okay stimmt, danke. Was bedeutet (y,0) und (0,-y)?

Kann man auch so beweisen?

z = x - y        | +y

x = z+y

weil z+y für alle z E Z und y E N ein Element aus N ist, ist es surjektiv.

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Nein, surjektiv bedeutet hier:

Für jedes z∈Z gibt es ein Paar (x,y) ∈ N x N

mit der Eigenschaft f(x,y) = z.

Und so ein Paar gibt es immer; denn

es ist ja das z entweder ≥0 oder <0.

1. Fall z≥0 dann gilt z∈N also ist

(z,0) ein Paar ∈ N x N  und f1(z,0) = z

2. Fall z<0 dann ist -z∈N und f1(0,-z) = z.

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Okay verstanden. Wie sieht dann der Injektivitätsbeweis aus für Zahlenbereich X Zahlenbereich? f2 ist nicht injektiv weil zb 2 1 = 3 1 ,

aber f3 sollte injektiv sein. Kann man das so beweisen?:

seien x1 y1 und x2 y2 E Z^2 mit f(x1,y1) = f(x2,y2)

(x1,x1+y1) = (x2,x2+y2)

x1=x2 UND x1+y1 = x2+y2

weil x1 und x2 gleich sind folgt

x1=x2 UND y1=y2

also folgt

(x1, y1) = (x2, y2)

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Prima, ich hab noch Klammern ergänzt.

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