Man beweise, dass die Grenzwerte der Folgen.. sind

Question

Aufgabe:
Man beweise:

a) $\lim\limits_{n\to\infty}$ $\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}$ - $\sqrt[3]{n}$ = 0

b) $\lim\limits_{n\to\infty}$ $\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^{2}}}$ - $\sqrt[3]{n}$ = 1/3

Hinweis:

a - b = $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$


Ich weiß nicht genau, wie ich hier rangehen muss und danke euch im Voraus!

Liebe Grüße

Answer 1

In den Hinweis einsetzen und dann umformen.

$\begin{aligned} & \sqrt[3]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[3]{n}\\ =\, & \frac{n+\sqrt{n}-n}{\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}^{2}+\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ =\, & \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}^{2}+\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ <\, & \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}^{2}+\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ =\, & \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}^{2}+\sqrt[3]{n}^{2}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ =\, & \frac{n^{\frac{1}{2}}}{3\cdot n^{\frac{2}{3}}}\\ =\, & \frac{1}{3n^{\frac{1}{6}}} \end{aligned}$

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Aufgabe b) verläuft ja dann analog. Komme mit deiner Antwort auch auf die Lösung $\frac{1}{3}$.

Liebe Grüße