Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems ...

Question

Aufgabe:

Sei \( \alpha \) eine reelle Zahl. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems \( A \cdot x=0 \) mit

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & -4 & 6 & -2 \alpha^{2}+2 \\ 3 \alpha & -6 \alpha+1 & 6 \alpha & -3 \alpha^{3}+3 \alpha \\ 0 & 6 & 0 & 3 \alpha^{2}-3 \end{array}\right) \)

in Abhängigkeit von \( \alpha \).

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{rrrrcl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 && \text{Aktion}\\[0.5ex]\hline 3 & -4 & 6 & -2a^2+2 && \\ 3a & -6a+1 & 6a & -3a^3+3a && +a\cdot\text{Zeile 3} \\ 0 & 6 & 0 & 3a^2-3 && :\,6\\[0.5ex]\hline 3 & -4 & 6 & -2a^2+2 && +4\cdot\text{Zeile 3} \\ 3a & 1 & 6a & 0 &&  \\ 0 & 1 & 0 & 0,5a^2-0,5 && \\[0.5ex]\hline 3 & 0 & 6 & 0 && :\,3\\ 3a & 1 & 6a & 0 && -a\cdot\text{Zeile 1} \\ 0 & 1 & 0 & 0,5a^2-0,5 && \\[0.5ex]\hline 1 & 0 & 2 & 0 && \\ 0 & 1 & 0 & 0 && \\ 0 & 1 & 0 & 0,5a^2-0,5 &&\\\hline \end{array}$$Damit sich die 2-te und die 3-te Gleichung nicht widersprechen und das LGS lösbar ist, muss \(a=\pm1\) gelten. Für diese Fälle lesen wir folgende Zusammenhänge ab:$$x_1+2x_3=0\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_4\in\mathbb R\text{ beliebig}$$Die Lösungen des Gleichungssystem lauten daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_3\\0\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad a=\pm1$$