Bestimmen Sie welche Folge konvergent ist und eventuell dann auch den Grenzwert

Question

Aufgabe:

((−1)^n*n^3+n)/(3n^3 +n^2 +1)=cn mit n>=1

Bestimmen Sie welche Folge konvergent ist und eventuell dann auch den Grenzwert

Problem/Ansatz:

Also ich habe aus der oberen Gleichung folgendes gemacht. Es handelt sich auf jeden Fall um eine alternierende Folge. Aus dem Zähler kann man zudem die n^3 ausklammern und erhält (-1)^n+1/n^2 und somit (-1)^n + 0 und aus der Definition der Alternierenden Folgen wissen wir, dass (-1)^n immer das Vorzeichen wechselt.

Jetzt zum unteren Teil also dem Nenner. Dort habe ich auch n^3 ausgeklammert und erhalte somit 3+1/n+1/n^3, also lim n—>∞

3+0+0 insgesamt also 3 für den Nenner und jetzt meine Frage, lässt sich daraus schließen, dass cn zwischen -1/3 und +1/3 alternierd oder kann man das gar nicht so sagen, weil es alternierend ist. Ist mein Vorgehen auch in Ordnung und soweit korrekt?

Answer 1

Du schreibst, "Bestimme welche Folge konvergent ist". Ich sehe nur die eine Folge $$  c_n = \frac{ (-1)^n n^3 +n }{ 3n^3 +n^2+1 } $$ Habe ich was übersehen?

Die obige Folge konvergiert nicht, da sie zwei Häufungspunkt hat \( \frac{1}{3} \) und \( -\frac{1}{3} \). Das kannst Du durch ausklammern von \( n^3 \) sehen, indem Du die Folge so schreibst $$ c_n = \frac{ (-1)^n + \frac{1}{n^2} }{ 3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n}  } $$ Daran sieht man jetzt dass es die zwei genannten Häufungspunkte gibt.

Comments

Ja da gibt es insgesamt 5 Aufgaben aber nur bei der war ich mir nicht ganz sicher. Aber hast mir schon sehr geholfen. Vielen dank.