Bestimmen Sie welche Folge konvergent ist und eventuell dann auch den Grenzwert

Question

Aufgabe:

((−1)ⁿ*n³+n)/(3n³ +n² +1)=cn mit n>=1

Bestimmen Sie welche Folge konvergent ist und eventuell dann auch den Grenzwert

Problem/Ansatz:

Also ich habe aus der oberen Gleichung folgendes gemacht. Es handelt sich auf jeden Fall um eine alternierende Folge. Aus dem Zähler kann man zudem die n³ ausklammern und erhält (-1)ⁿ+1/n² und somit (-1)ⁿ + 0 und aus der Definition der Alternierenden Folgen wissen wir, dass (-1)ⁿ immer das Vorzeichen wechselt.

Jetzt zum unteren Teil also dem Nenner. Dort habe ich auch n³ ausgeklammert und erhalte somit 3+1/n+1/n³, also lim n—>∞

3+0+0 insgesamt also 3 für den Nenner und jetzt meine Frage, lässt sich daraus schließen, dass cn zwischen -1/3 und +1/3 alternierd oder kann man das gar nicht so sagen, weil es alternierend ist. Ist mein Vorgehen auch in Ordnung und soweit korrekt?

Answer 1

Du schreibst, "Bestimme welche Folge konvergent ist". Ich sehe nur die eine Folge $$c_n = \frac{ (-1)^n n^3 +n }{ 3n^3 +n^2+1 }$$ Habe ich was übersehen?

Die obige Folge konvergiert nicht, da sie zwei Häufungspunkt hat $\frac{1}{3}$ und $-\frac{1}{3}$. Das kannst Du durch ausklammern von $n^3$ sehen, indem Du die Folge so schreibst $$c_n = \frac{ (-1)^n + \frac{1}{n^2} }{ 3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n} }$$ Daran sieht man jetzt dass es die zwei genannten Häufungspunkte gibt.

Comments

Ja da gibt es insgesamt 5 Aufgaben aber nur bei der war ich mir nicht ganz sicher. Aber hast mir schon sehr geholfen. Vielen dank.