Fresnelsche Integrale lösen

Question

Moin Leute, ich muss zeigen, dass für die Fresnel Integrale

\( \int \limits_{0}^{\infty} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}=\int \limits_{0}^{\infty} \sin \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t \)
gilt. Weiß jemand, wie man hier vorgeht?

Des Weiteren muss ich noch das hier lösen, was auf a) folgt
\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\sin (t)}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t \quad \text { und } \quad \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\cos (t)}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t \)
aus Teil (a).

Falls einer helfen kann, wäre ich euch sehr dankbar!

Comments

Hallo Tom, das hast du doch gerade erst auf dem mathe-planeten gefragt.

---

Solche Integrale kannst du mithilfe der Funktionentheorie lösen.

Answer 1

Integriere die komplxe Funktion \( e^{-z^2} \) über den geschlossenen Weg \( \gamma(t) = \gamma_1(t)+ \gamma_2(t) +\gamma_3(t) \)

$$ (1) \quad \gamma_1(t) = t, \ \ t \in [0,R] $$

$$ (2) \quad \gamma_2(t) = R e^{i\varphi}, \ \ \varphi \in \left[0, \frac{\pi}{4} \right] $$ und

$$ (3) \quad \gamma_3(t) = t e^{ i \frac{\pi}{4}}, \ \ t \in [R,0] $$

und bedenke das $$ \int_{\gamma} e^{-z^2} dz = \int_{\gamma_1} e^{-z^2} dz + \int_{\gamma_2} e^{-z^2} dz + \int_{\gamma_3} e^{-z^2} dz = 0 $$ gilt.

Comments

Ullim, vielen Dank, habe verstanden!