Gegeben ist: f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2). Beweise, dass f(n) = an ist.

Question

Matheaufgabe mit der Frage nach dem Beweis von f(n) = an !

Also,

gegeben ist: f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

Nun muss ich beweisen, dass f(n) = an ist.

Ich komme leider nicht auf die Lösung.

Angefangen habe ich so:

x1 = n/2

x2 = n/2

Also: f(n/2 + n/2) = f(n)

Nun stehe ich vor diesem Term f(n/2) + f(n/2) und komme nicht weiter.

War dieser Ansatz falsch? Oder, wie mache ich weiter?

 :)

Comments

f(n) = an

ist das 'a mal n' ?

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

Könnte als beliebige lineare Funktion aufgefasst werden, wenn x1 und x2 irgendwelche Elemente von R sein dürften. Was hast du denn da genau für Angaben?

Answer 1

Annahme

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) ist gültig für alle x1 und x2 aus N.

Dann gilt insbesondere

f(2)=f(1+1)= f(1) + f(1) = 2f(1)

f(2+1) =f(2) + f(1)= 2f(1) + f(1) = 3f(1)

usw.                

f(n) = n*f(1)           

Wenn du unbedingt willst: mach noch einen Induktionsbeweis. Ist mE nicht nötig.

Wählt man a= f(1) so kommt man auf

f(n) = an qed.