Konvergenzradius Potenzreihe xn^2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius $r$ der beiden Potenzreihen

$$f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} x^{n} \quad \text { und } \quad g(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n^{2}}}{2^{n}}$$

und untersuchen Sie, ob die Potenzreihen für Zahlen $x$ am Rand des Konvergenzbereichs, das heißt $|x|=r,$ konvergieren.

Ansatz/Problem:

Ich habe eine Frage bezüglich g(x) und zwar wie ich den Konvergenzradius davon bestimme. In der allgemeinen Potenzreihenform haben wir ja prinzipiell nur xⁿ stehen , in g(x) steht jetzt allerdings xⁿ^2 da. Meine Frage ist nun: Muss ich das vorher irgendwie umschreiben und wenn ja, wie? oder kann man wie gewohnt damit rechnen?

Comments

Hallo,

steht da

$$x^{(n^2)}$$ oder $$(x^n)^2$$

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hallo,

ich meine Ersteres, als x hoch n und nur das n zum Quadrat :)

Answer 1

Hallo,

dann kannst Du die Sache so angehen: Es handelt sich um eine Potenzreihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ mit den Koeffizienten

$$a_k=2^{-n} \text{ falls } k=n^2$$

und $a_k=0$ sonst, also für alle k, die nicht Quadratzahl sind. Jetzt verwenden wir die Formel von Cauchy-Hadamard und haben für $k=n^2$

$$\sqrt[k]{a_k}=\left( \frac{1}{2^n}\right) ^{\frac{1}{n^2}}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{n}}$$

Letzteres konvergiert gegen 1. Und für die anderen k ist $\sqrt[k]{k}=0$. Damit ist der Limessuperior von $\sqrt[k]{k}$ = 1.

Gruß