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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{4 n^{2}}\left(x-\frac{1}{3}\right)^{n} \)

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Aloha :)

Für den Konvergenzradius sind die Koeffizienten ausschlaggebend:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{3^n}{4n^2}}{\frac{3^{n+1}}{4(n+1)^2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{3^n}{4n^2}\cdot\frac{4(n+1)^2}{3^{n+1}}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{3^n}{3^{n+1}}\cdot\frac{4(n+1)^2}{4n^2}\right|=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right|=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\right|$$$$\phantom{r}=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\right|=\frac{1}{3}$$Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac{1}{3}\).

Für welche \(x\) konvergiert die Reihe nun?$$\left.\left|x-\frac{1}{3}\right|<r\quad\right|\quad r\text{ einsetzen}$$$$\left.\left|x-\frac{1}{3}\right|<\frac{1}{3}\quad\right|\quad\text{umformen}$$$$\left.-\frac{1}{3}<x-\frac{1}{3}<\frac{1}{3}\quad\right|\quad+\frac{1}{3}$$$$\left.0<x<\frac{2}{3}\quad\right.$$Es kann sein, dass die Reihe auch für die "Ränder" \(x=0\) und \(x=\frac{2}{3}\) konvergiert. Das muss aber separat geprüft werden.

von 42 k
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hallo

die 2 möglichen Formeln für den Konvergenzradius solltest du kennen, hier bietet sich die n te Wurzel an . dass da x-1/3 steht sollte dich nicht stören , setze das = y am Ende kannst du bei bekannten Konvergenradius r den von x also r+1/3 finden

Gruß lul

von 43 k

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