die Gleichung der Ellipse

Question

Eine Ellipse hat die Brennpunkte F1(-5, 0), F2(5, 0) und geht durch den Punkt P(3, 4). Ermittle die Gleichung der Ellipse! [x²/45 + y²/20 = 1 bzw. 4x² + 9y² = 180]

Answer 1

Mit den x-Koordinaten e und -e der Brennpunkte bekommst du über

b² + e² = a² und der allg. Gleichung

            x² / a² + y² / b² = 1

die Form  x² / (b²+25)   + y² / b² = 1

und mit P(3,4) also

               9/ (b² + 25)    + 16 / b² = 1

==>        9/ (b² + 25)     = ( b² - 16 ) /  b²

==>    9b²  / (b² + 25)    = b² - 16

Substitution b² = z liefert

                9z / ( z+25) =  z-16

                 9z =  z² + 9z - 400

                 0 = z² - 400

==>  z = 20 oder z=-20,

aber wegen z=b² muss es  b² = 20 sein

und damit a² = 45