Hallo,
Du kanst Dir die Umformungen sparen, wenn du direkt die Ellipsengleichung nach \(x\) ableitest. Mit Ellipse \(E\), Tangente \(t\) und Punkt \(B\) $$E: \quad \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ t: \quad y = -0,3x + 2,5 \\ B(3;1,6) = E \cap t$$und der Ableitung von \(E\) nach \(x\)$$E': \quad \frac {2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 $$setzt Du \(x=3\), \(y=1,6\) und \(y'=-0,3\) in \(E\) und \(E'\) ein, dann erhältst Du ein lineares Gleichungssystem:$$\begin{aligned} \frac{3^2}{a^2} + \frac{1,6^2}{b^2} &= 1 \\ \frac {2 \cdot 3}{a^2} + \frac{2 \cdot 1,6 \cdot (-0,3)}{b^2} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 9 & 2,56 \\ 6 & -0,96 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/a^2\\1/b^2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Wenn man nun zum 3-fachen der ersten Zeile das 8-fache der zweiten addierst, erhält man:$$\begin{aligned} (3 \cdot 9 + 8 \cdot 6)\frac 1{a^2} &= 3 \\ \frac{27 + 48}{3} &= a^2 \\ a^2 &= 25\end{aligned}$$ \(b\) schaffst Du alleine ;-) und im Plot sieht das ganze so aus:
~plot~ -0,3x+2,5;2*sqrt(1-(x^2/25));{3|1.6} ~plot~
