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Aufgabe:

a) Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ebenfalls abzählbar ist.

b) Seien k∈N und M1, ..., Mk abzählbare Mengen. Beweisen Sie, dass auch M1×M2×...×Mk={(m1, m2, ..., mk);mi ∈ Mi für

1 ≤ i ≤ k} abzählbar ist. [Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zu nächst für den Fall k= 2.]

(c) Beweisen Sie, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von N abzählbar ist.


Problem/Ansatz:

Hallo kann mir jemand mit den beweisen dieser 3 aufgabenteile helfen.

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a) Sei Mi = {mij | j ∈ ℕ} für jedes i ∈ ℕ eine abzählbare Menge. Die mij können wie folgt in eine Tabelle mit abzählbar vielen Spalten und abzählbar vielen Zeilen eingetragen werden.

Mi \ j
1
2
3
4
\(\dots\)
M1
m11
m12
m13
m14
\(\dots\)
M2
m21
m22
m23
\(\dots\)
\(\dots\)
M3
m31
m32
\(\ddots\)
\(\dots\)
\(\dots\)
M4
m41
\(\vdots\)
\(\vdots\)
\(\ddots\)
\(\dots\)
\(\vdots\)
\(\vdots\)
\(\vdots\)
\(\vdots\)
\(\vdots\)
\(\ddots\)


Die Elemente von ∪i∈ℕ Mi können jetzt mit Cantors erstem Diagonalargument abgezählt werden (siehe Beweis ℚ ist abzählbar).

b) und c) werden ebenso bewiesen, d.h. indem du einen Weg findest, die Element in eine Tabelle mit abzählbar vielen Spalten und abzählbar vielen Zeilen einzutragen.

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