Bestimmen Sie die Zykelschreibweise von σ5, ρ3, σρ, ρσ, σ-1, ρ-1, (σρ)-1 und σ17

Question

Es seien in S5 die Permutationen

σ:=(1 2 3 4 5                                       ρ:=( 1 2 3 4 5

   2 3 4 5 1)                                               4 3 2 1 5)

gegeben. Bestimmen Sie die Zykelschreibweise von σ⁵, ρ³, σρ, ρσ, σ-1, ρ^-1, (σρ)^-1 und σ¹⁷

Answer 1

Hallo Helen,

$\sigma$ beschreibt eine sogenannte Linksrotation. D.h. alle Elemente werden um eine Stelle nach links geschoben und das ganz linke Element wird ganz rechts wieder eingereiht. Wenn man dies mit $n$ Elementen $n$-mal ausführt, hat man zwangsläufig den alten Stand. Folglich ist (wegen $n=5$) $\sigma^5 = \text{Id}$ also die Identische Abbildung$$\sigma^5 = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{pmatrix} =(1)(2)(3)(4)(5)$$Bei $\rho$ wird die Reihenfolge der ersten vier Elemente invertiert. Macht man das zweimal hintereinder, so liegt wieder die ursprüngliche Reihenfolge vor. Also ist $\rho^2 = \text{Id}$ und$$\rho^3 = \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\end{pmatrix} = (1\space 4)(2 \space 3)(5)$$ $\sigma\rho$ und $\rho\sigma$ ist die Verknüpfung beider Permutationen. Achte hier auf die Reihenfolge. Die Permutationen werden von rechts nach links ausgeführt. Z.B.: $$\sigma\rho = \sigma\circ\rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 2& 1& 5& 4\end{pmatrix} = (1\space 3)(2)(4\space 5)$$also erst $\rho$ und dann $\sigma$.

Die inverse Permutation erhält man, indem man in der Zweizeilenform die obere mit der unteren Zeile vertauscht: $$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix}2& 3& 4& 5& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 5& 1& 2& 3& 4\end{pmatrix} = (1\space 5\space 4\space 3\space 2)$$Bei $\sigma^{17}$ macht man sich wieder zu Nutzen, dass $\sigma^5 = \text{Id}$ ist. Folglich gilt$$\sigma^{17} = \sigma^{2} = \sigma \circ \sigma = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 1& 2\end{pmatrix} = (1\space 3\space 5\space 2\space 4)$$Da $17 \equiv 2 \mod 5$ ist.

Comments

Vielen Dank, das ist ja nicht schwer eigentlich wenn man es verstanden hat :)

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Ich habe noch was vergessen! Es ist nach der Zyklenschreinbweise gefragt. Und ich habe Dir die Zweizeilenform geliefert. Ich korrgiere das gleich.

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oh dankeschön bin gespannt wie die schreibform aussieht.

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erledigt - ich habe die Zyklenschreibweise hinzu gefügt. Siehe auch Permutation.

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ich habe noch eine Frage und p^-1 und (sigmal*p)^-1 ist das gleich zu sigma^-1 zb oder wie

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un p verknüpft sigma ist dasselbe wie sigma verknüpft mit p

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und p verknüpft sigma ist dasselbe wie sigma verknüpft mit p

Nein! - steht auch explizit in dem Wiki-Artikel, den ich Dir verlinkt habe. Kompositionen von Permutationen sind i.A. nicht kommutativ$$\sigma \circ \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 2& 1& 5& 4\end{pmatrix} = (1\space 3)(2)(4\space 5) \\ \rho \circ \sigma = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 5& 4& 3& 2& 1\end{pmatrix} = (1\space 5)(2\space 4)(3)$$mache Die das selber klar und verfolge den Weg, den z.B. die 1 nimmt. Im Fall von $\sigma \circ\rho$ wird $\rho$ zuerst angewendet:$$\sigma \circ\rho(1) = \begin{pmatrix}1& .& .& .& .\\ .& .& .& 1& .\\ .& .& 1& .& .\end{pmatrix}$$Durch das Invertieren der Reihenfolge (das ist $\rho$) wandert die 1 auf die Position 4. Anschließend wird sie von der Linksrotation (das ist das $\sigma$) von Position 4 auf Position 3 verschoben. Anders bei $\rho\circ\sigma$$$\rho\circ\sigma(1) = \begin{pmatrix}1& .& .& .& .\\ .& .& .& .& 1\\ .& .& .& .& 1\end{pmatrix}$$Hier wird die 1 durch die Linksrotation ($\sigma$) auf Position 5 geschoben. Und $\rho$ ändert die Position 5 nicht mehr. Also bleibt die 1 dort stehen.

p^-1 und (sigmal*p)^-1 ist das gleich zu sigma^-1 zb oder wie

Diese Frage ist etwas verstümmelt. Mache Dir das selber klar - auch wenn es nicht schwer ist, so muss man das ein wenig üben. Die notwendigen Informationen stehen alle in meiner Antwort und wenn das nicht reichen sollte, in dem Wiki-Artikel Permutation.

Oder frage hier einfach nochmal gezielt nach.

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Dann hast du das aber beides vertauscht.

o○p wäre dann das was bei p○o steht und p○o wäre das wss du bei o○p steht, oder nicht?

Weil man ja das rechte als erstes nutzt und laut deiner Rechnung hast du dann ja bei o○p o als erstes genommen obwohl du p nehmen solltest und bei p○o hast du dann ja p genommen, obwohl du o nehmen solltest

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Hallo Sterni,

Willkommen in der Mathelounge! :-)

... laut deiner Rechnung hast du dann ja bei o○p o als erstes genommen ...

das sehe ich nicht so. Nochmal ausführlich:$$\begin{aligned} \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\end{pmatrix} \\ \sigma = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\end{pmatrix} \\ \sigma \circ \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\\ 3& 2& 1& 5& 4\end{pmatrix} \end{aligned}$$bei $\sigma \circ \rho$ kommt $\rho$ zuerst. Und genauso steht es auch oben in meiner Antwort und in meinem Kommentar.

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Ich verstehe das nicht...

Ich habe das so gelernt:

o○p:

ich gucke erst bei p. Da wird 1 auf 4 abgebildet, dann gucke ich bei o wo die 4 abgebildet wird also auf 5 also kommt unter der 1 eine 5 usw ..

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... dann gucke ich bei o wo die 4 abgebildet wird also auf 5

bei $\sigma$ wird das Element von Position 4 auf Position 3 verschoben, nicht auf Position 5. $\sigma$ ist eine Linksrotation, jedes Element nimmt bei $\sigma$ eine Position weiter links ein und das ganz linke wandert ganz nach rechts.

Schau Dir auch das Beispiel bei Wiki an.

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Noch ein Tipp:

die Zahlen in der Zweizeilenform sind nur Platzhalter. Man könnte sie auch durch beliebige Zeichen ersetzen. Z.B.: $$\sigma = \begin{pmatrix}\circ& \#& X& 9& €\\ \#& X& 9& €& \circ\end{pmatrix}$$Bei der Zyklenform geht man implizit davon aus, dass die Elemente mit 1, 2, 3, usw. durchnummeriert sind.

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Habe das so gemacht und es war falsch. Hatte selber diese Hausaufgaben auf. o ist keine Linksrotoation meinte mein Lehrer

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Habe das so gemacht und es war falsch. Hatte selber diese Hausaufgaben auf. o ist keine Linksrotoation meinte mein Lehrer

Also ich bin selber unsicher, hatte das aber an Hand von zwei Quellen überprüft. Machen wir es mal anders herum. Man habe eine Sequenz $a$ von 5 Elementen$$a = \begin{pmatrix}\circ& \#& X & 9& €\end{pmatrix}$$Was ist dann $\sigma(a)$??

Kann sein, dass Du recht hast. Heute liest sich das für mich wiede anders **blöd**. Ich muss mir das heute Abend noch mal in Ruhe ansehen.

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Hallo Helen, Hallo Werner-Salomon

was hast du bei p^-1?

ich tausche wieder beide Zeilen in der Zweizeilenform. Doch wie sieht die Zykelschreibweise aus?

Vielen Dank un liebe Grüße