Aufgabe:
Bestimmen Sie w∈ℝ5 so, dass v1,v2,v3,v4,und w eine Basis von ℝ5 ist.
\( v_{1}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ -6 \\ -2 \\ 4 \\ 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right) \)
Problem/Ansatz:
1. Ich habe eine Matrix gemacht und wollte mit dem Entwicklungssatz die Determinante ausrechnen. Wenn die Determinante ≠0 ist, sind ja alle Vektoren Lin. unabhängig .
| -2 | -2 | 4 | 1 | w1 |
| -6 | 0 | 3 | 0 | w2 |
| -2 | 0 | 0 | 1 | w3 |
| 4 | 1 | 0 | -2 | w4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | w5 |
2.Ich hab nach der letzen Spalte entwickelt. Von w1-w4 hatten alle Teilmatrizen eine Nullzeile, also Determinante =0.
Daraus hat sich dann ergeben :
w1*0-w2*0+w3*0-w4*0+w5*
wieder entwickelt nach der 3. Zeile ergab Determinante=24
3. --> w1*0-w2*0+w3*0-w4*0+w5*24=0
w5=0
meine Folgerung:
--> für w5∈ℝ/{0} und w1,w2,w3,w4∈ℝ sind die Vektoren linear unabhängig.
4. von der Aufgabenstellung wusste ich nicht, ob es allgemein ausreicht oder ein konkreter gewählt werden soll. Deshalb habe ich mich z.B. dafür entschieden w= (0,0,0,0,1)
5. Richtig?
Habe das Gefühl, etwas übersehen zu haben.
