Injektivität, Surjektivität

Question

Gegeben seien die beiden folgenden Abbildungen:
\( \begin{aligned} f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{1,2,3,4\}, & f(1):=4, f(2):=3, f(3):=4, f(4):=3 \\ g:\{1,2\} \rightarrow\{1,2,3,4\}, & g(1):=3, g(2):=4 \end{aligned} \)
(a) Untersuchen Sie \( f \) auf Injektivität und Surjektivität.
(b) Untersuchen Sie \( g \) auf Injektivität und Surjektivität.
(c) Finden Sie eine Abbildung \( h_{1}:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{1,2\} \) mit \( g \circ h_{1}=f \).
(d) Finden Sie eine linksinverse Abbildung zu \( g . \) Mit anderen Worten: Finden Sie eine Abbildung \( h_{2}:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{1,2\} \) mit \( h_{2} \circ g= \) id \( _{\{1,2\}} \)
(e) Finden Sie eine rechtsinverse Abbildung zu \( h_{1} \). Mit anderen Worten: Finden Sie eine Abbildung \( h_{3}:\{1,2\} \rightarrow\{1,2,3,4\} \) mit \( h_{1} \circ h_{3}= \) id \( _{\{1,2\}} \)

Answer 1

f: nicht injektiv da z.B. f(1)=f(3)

 nicht surjektiv da z.B. 1 nicht als Bild vorkommt

g: injektiv, denn die einzigen verschiedenen Elemente
      im Def. bereich sind 1 und 2 und die haben verschiedene
                    Bilder

    nicht surjektiv da z.B. 1 nicht als Bild vorkommt.

c) h1(1)=2  h1(2)=1  h1(3)=2  h1(4)=1

d) h2(1)=h2(2)=3   h2(3)=1  h2(4)=2

e)  h3(1)=4   h3(2)=3

Comments

Hallo :)

Könnten Sie mir das eventuell ausführlicher erklären? Ich würde es gerne besser verstehen :)

Ich bedanke mich im Voraus dafür!

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Du musst nur die Definition anwenden.

injektiv heißt ja:

Zwei verschiedene Elemente der Def-menge

haben immer verschiedenen Bilder.

f(1)=f(3) zeigt:

1 und 3 sind zwar verschieden

haben das gleiche Bild.   etc.

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Ich meinte eher die c), d), e)... Wie man darauf kommt bzw. wie man das angeht :)

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c) mache dir klar was \( g \circ h_{1}=f \) bedeutet

g(h1(1) = f(1) und es ist f(1)=4 also muss h1(1) etwas

sein, das durch g auf 4 abgebildet wird, das ist aber nur die 2

Also  h1(1)=2    etc.