0 Daumen
634 Aufrufe

Aufgabe:

Sei (G, ·, e) ein Tripel bestehend aus einer Menge G, einer Verknüpfung · auf G und einem Element e ∈ G. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent
sind:

(i) Das Tripel (G, ·, e) ist eine Gruppe.

(ii) Es gelten
(1) a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c ∈ G.
(2) e · a = a für alle a ∈ G.
(3) Zu jedem a ∈ G existiert ein b ∈ G mit b · a = e.

Kann mir jemand helfen ? Wie geht man hier am besten vor?

Liebe Grüße

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent

Stichworte: äquivalenz,gruppen

Sei (G, ·, e) ein Tripel bestehend aus einer Menge G, einer Verknüpfung · auf G und einem Element e ∈ G. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent
sind:
(i) Das Tripel (G, ·, e) ist eine Gruppe.
(ii) Es gelten
   (1) a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c ∈ G.
   (2) e · a = a für alle a ∈ G.
   (3) Zu jedem a ∈ G existiert ein b ∈ G mit b · a = e.

Hallo,

das sieht mir so aus, dass Ihr eine logisch minimale Defintion von Gruppe festgelegt habt und jetzt einige Eigenschaften beweisen sollt, die sonst oft in die Defintion integriert werden. Daher: Wie habt Ihr Gruppe definiert?

Gruß

hey, danke für deine Antwort erst einmal ! :)

Unsere Definition von Gruppen lautet wie folgt:

(a) Eine Gruppe ist ein Tripel (G, ◦, e), wobei G eine Menge ist, ◦: G×G → G eine Verknüpfung und e ∈ G ein Element, und wobei folgende Eigentschaften gelten:
(i) ∀a, b, c ∈ G: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (Assoziativität)
(ii) ∀a ∈ G: a ◦ e = e ◦ a = a (Man sagt, „e ist ein neutrales Element für ◦“.)
(iii) ∀a ∈ G: ∃b ∈ G: a ◦ b = b ◦ a = e. (Ein solches b heißt Inverses von a.)
Oft nennt man auch (G, ◦) oder G eine Gruppe, wenn klar ist, was e (und ◦) sein soll.

Man nennt (◦, e) auch eine Gruppenstruktur auf der Menge G.

(b) Gilt außerdem ∀a, b ∈ G: a ◦ b = b ◦ a, so nennt man G kommutativ oder abelsch.


Was sagst du dazu?

Hallo,

also habt Ihr in der Vorlesung die allgemeine Definition zugrundegelegt. Jetzt sollt Ihr zeigen, dass aus den in der Aufgabe angebenen Eigenschaften (nur "linksneutrales" Element, nur "linksinverses" Element) die allgemeinen der Definition folgen.

Vielleicht hast Du Lust, daran ein wenig herumzubasteln. Eine fertige Lösung findest Du sonst im Wikipedia-Artikel über Gruppen.

Gruß

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community