Berechnen Sie integral

Question

Für \(\varepsilon > 0\) sei $$S_{\varepsilon} = \left\{\left(x, y\right) \in R^2\,:\quad \varepsilon \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 1\right\}.$$ Berechnen Sie $$\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \,\underset{S_\varepsilon}{\iint} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\text{ d}x\text{ d}y.$$

Answer 1

Aloha :)

Hier empfiehlt sich die Verwendung von Polarkoordinaten:

$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[\varepsilon;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\varepsilon>0$$

Beim Übergang zu Polarkoordinaten wird das Flächenelement verzerrt, konkret gilt:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$

Der Nenner des Integranden wird zu:$$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2}=\sqrt{r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}=r$$

Damit bekommen wir für das Integral:$$I(\varepsilon)=\iint\limits_{S_{\varepsilon}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_\varepsilon^1\frac{1}{r}\,r\,dr=2\pi(1-\varepsilon)\quad\stackrel{(\varepsilon\to0)}{\to}\quad2\pi$$

Answer 2

Hallo

das ist schwer zu lesen, aber x^2+y^2 schreit eigentlich direkt nach Polarkoordinaten also x^2+y^2=r^2. dxdy->rdrdφ

Gruß lul