inverse Element eindeutig bestimmt

Question

Aufgabe:

Sei (G, ∗) eine Abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
Für jedes a ∈ G ist das inverse Element eindeutig bestimmt
(d.h.: für alle a ∈ G ∃! b ∈ G, so dass a ∗ b = e gilt).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Gemäß des Axioms über die Existenz eines inversen Elementes, gibt es zu jedem \(a\in G\) ein \(a'\in G\), dessen Verknüpfung mit \(a\) das neutrale Element \(e\) der Gruppe ergibt.$$a\cdot a'=e\quad;\quad a'\cdot a=e$$Wir nehmen nun an, es gibt ein weiteres Element \(a''\in G\), das invers zu \(a\) ist, dann gilt auch:

$$\left.a\cdot a''=e\quad\right|\quad\text{Multiplikation von links mit \(a'\)}$$$$\left.a'\cdot(a\cdot a'')=a'\cdot e\quad\right|\quad\text{Assiziativ-Gesetz links}$$$$\left.(a'\cdot a)\cdot a''=a'\cdot e\quad\right|\quad\text{links \(a'\cdot a=e\) einsetzen}$$$$\left.e\cdot a''=a'\cdot e\quad\right|\quad\text{Existenz eines neutralen Elmentes \(e\) links und rechts}$$$$a''=a'$$Es gibt also kein anderes inverses Element zu \(a\) als \(a'\). Das inverse Element ist eindeutig bestimmt.

Comments

Hallo Tschakabumba,

zu der Frage gibt es noch diese Teilfrage:

Es gibt genau ein neutrales Element (d.h.: ∃!e ∈ G, so dass für alle a ∈ G gilt
e ∗ a = a).

Kannst du mir auch hiermit helfen?

Beste Grüße

Gismo

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Seien \(e\) und \(e'\) neutrale Element der Gruppe. Da \(e\) neutrales Element ist, gilt \(e'=e\cdot e'=e'\cdot e\). Da \(e'\) neutral ist, gilt \(e=e'\cdot e=e\cdot e'\). Zusammen bedeutet dies:$$e'=e\cdot e'=e$$Das neutrale Elemente \(e\) ist daher eindeutig.