Multiplikation eindeutig bestimmt in reellen Zahlen (d)

Question

Beweisen Sie direkt aus den Axiomen der Multiplikation die folgenden Aussagen:

a) Das Einselement in R ist eindeutig bestimmt.

b) Für jedes Element x ∈ R \ {0} ist das inverse Element eindeutig bestimmt.

c) Es gilt 1^{-1} = 1.

d) Seien a,b ∈ R mit a ≠ 0 gegeben. Dann gibt es ein eindeutiges Element x ∈ R derart, dass a·x = b gilt.

e) Für alle Elemente x ∈ R \ {0} gilt (x^{-1})^{-1} = x.

 

Ich habe eine Frage zu der d). Wäre folgende Lösung richtig:

$$ Es~sei~1.) a*x=b~also~x=b*a^{-1}~und~2.) a*x´=b~also~x`=b*a^{-1} $$

$$ Folglich~gilt~x'=b*a^{-1} = x $$

=> x ist eindeutig

Comments

Zu deinem "Beweis":

Weisst du denn bereits, dass a^{-1} eindeutig ist?

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Ja, die Eindeutigkeit habe ich bereits in der b) mit mehr oder weniger gleicher Methode bewiesen. Wäre der Beweis damit dann richtig?

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Oh, habe gerade gemerkt, dass ich die Frage aus Versehen mit meinem ursprünglichen, aber verworfenen, Account (dessen Login-Daten eben noch in meinem Laptop-Browser gespeichert waren) gestellt habe. Naja, wird schon nicht so schlimm sein.

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Nein. Das macht an sich nichts, da du die Verwirrung aufgeklärt hast.

Du solltest die Fragestellung noch abtippen. Und vor allem musst du warten, bis jemand deinen Beweis sicher beurteilen kann.

Eigentlich sollst du in (d) die Eindeutigkeit der Division und nicht der Multiplikation zeigen. Die Fragestellung "a mal wieviel gibt b ? Ist eine Frage nach einem Quotienten.

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@planlos: Die eigentliche Behauptung ist ja: Es gibt ein \(x\) mit \(ax=b\). Du hast nur gezeigt: Wenn \(ax=b\) stimmt, muss \(x\) von der Form \(a^{-1}b\) sein. Das ist nicht, was behauptet wird.

Bei Deinem Spiel mit \(x\) und \(x'\) ist nicht ganz klar, was die Pointe sein soll.

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Hmmm, da habe ich wohl die Aufgabe falsch interpretiert. Bin mir nicht sicher, aber ich poste es trotzdem mal:

Es sei ax=b und x=b/a,  also a(b/a)=b => b=b => x=b/a ist eine Lösung von ax=b

sei c=f/g nun eine andere Lösung. Dann gilt a(c/g)=b und somit a(c/g)=b=a(b/a). Da gilt ac=ab=>c=b muss (c/g)=(b/a) sein => Eindeutig

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Es sei ax=b und x=b/a

Zu beweisen ist bei der Aufgabe unterm Strich \(ax=b\Leftrightarrow x=a^{-1}b\). Da kannst Du schlecht zu beiden Seiten gleichzeitig  "es sei" sagen. Stattdessen sagst Du erst zur linken Seite "es sei" und folgerst die rechte. Und dann umgekehrt.

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Ich soll doch bei der d zeigen, dass x=a^-1 *b eine Lösung ist und, dass diese eindeutig ist, oder? Wieso kann ich nicht a*x=b und x=a^-1 *b voraussetzen. Indem ich letztere in erstere einsetze und auflöse (mit dem Ergebnis b=b) hätte ich doch bewiesen, dass x für x=a^-1 b eine Lösung ist und die Eindeutigkeit würde doch aus meinem anderen Argument folgen. Sorry, falls ich so doof frage aber ich verstehe nicht ganz genau, was daran falsch ist :/

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Wieso kann ich nicht a*x=b und x=a^-1 *b voraussetzen.

Weil nicht per se klar ist, dass diese beiden Aussagen sich ueberhaupt vertragen. Tatsaechlich ist ja ihre Aequivalenz erst zu zeigen. Das ist im Kern die Aufgabe.

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Hmmm, okay. Ich lasse mir das ganze mal durch den Kopf gehen. Ich denke die Äquivalenz zu zeigen bekomme ich hin. Vielen Dank für eure deine Unterstützung!