Gleichung nach x auflösen; Eulersche Zahl, x im Exponenten

Question

Aufgabe:

3+2\( e^{-2x} \) -5\( e^{-x} \)  =0

Kann mir hier jemand helfen wie ich vorgehen muss?

Answer 1

3+2\( e^{-2x} \) -5\( e^{-x} \)  =0   ersetze z=\( e^{-x} \) und z^2 = \( e^{-2x} \)

und löse die quadratische Gleichung 3 + 2z^2 -5z = 0

gibt z=1 oder z=3/2 und dann

\( e^{-x} \)  = 1  ==>    x=0 

\( e^{-x} \) =3/2 ==>  -x = ln(3/2)   ==>  x = -ln(3/2) = ln(2/3)

Answer 2

Aloha :)

Setze \(y\coloneqq e^{-x}\), dann haben wir:

$$\left.3+2(e^{-x})^2-5e^{-x}=0\quad\right|\quad\text{\(y\) einsetzen}$$$$\left.3+2y^2-5y=0\quad\right|\quad\,:2$$$$\left.y^2-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}=0\quad\right|\quad\text{pq-Formel}$$$$y=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{5^2}{4^2}-\frac{3}{2}}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25-24}{16}}=\frac{5}{4}\pm\frac{1}{4}$$$$y_1=1\quad;\quad y_2=\frac{3}{2}$$

Wir ersetzen wieder zurück und bekommen:

$$e^{-x}=1\quad;\quad e^{-x}=\frac{3}{2}\quad\implies\quad x=0\quad;\quad x=\ln\left(\frac{2}{3}\right)$$

Answer 3

Noch eine Möglichkeit:

mfG

Moliets

Text erkannt:

\( 3+2 e^{-2 x}-5 e^{-x}=0 \)
\( 3+\frac{2}{e^{2 x}}-\frac{5}{e^{x}}=0 \mid \cdot e^{2 x} \)
\( 3 e^{2 x}-5 e^{x}=-2 \mid: 3 \)
\( e^{2 x}-\frac{5}{3} e^{x}=-\frac{2}{3} \)
\( \left(e^{x}-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36} \)
1. \( \quad) e^{x}=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1 \)
\( x=0 \)
2. \( \quad e^{x}=\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3} \)
\( x=\ln \left(\frac{2}{3}\right) \approx-0,405 \)