Sei e=exp(1) die eulersche Zahl. Zeige..

Question

Aufgabe:

Sei e=exp(1) die Eulersche Zahl. Zeigen Sie..

Problem/Ansatz:

Ich habe bei der Aufgabe bisher leider noch keinen richtigen Ansatz könnte mir jemand helfen?

Text erkannt:

(b) Sei \( e=\exp (1) \) die Eulersche Zahl. Zeigen Sie nacheinander:
(i) \( \exp (n x)=\exp (x)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und alle \( x \in \mathbb{R} . \)
(ii) \( \exp (m x)=\exp (x)^{m} \) für alle \( m \in \mathbb{Z} \) und alle \( x \in \mathbb{R} \).
(iii) \( \exp \left(\frac{1}{n}\right)=e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
(iv) \( \exp (r)=e^{r} \) für alle \( r \in \mathbb{

Text erkannt:

4. Exponenfial funlubion \& trifono metrisde tunletionen Def.4.l: 1ie tunletionen exp: \( \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{h} \)
Es gilt \( \exp (0)=1 \) wed do werr \( e:=\exp (1)=\sum \limits_{u=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \)
urt \( e=2.71828 \ldots \) luist Eulssole zall.
Sat 4.2: Es silt
(a) \( \forall z, \omega \in \mathbb{C}: \ln p(z+\omega)=\exp (z) \exp (\omega) \)
(Funk fionalgleichung vou exp)
(b) \( \forall z \in \mathbb{C}: \exp (z) \neq 0 \) wed exp \( (-z)=\frac{1}{\exp (z)} \),
(c) \( \forall z \in \mathbb{C}: \operatorname{cxp}(\bar{z})=\operatorname{exp(z)} \),
\( (d) \forall x \in \mathbb{k}:|\exp (i x)|=1 \)

Comments

Wie habt ihr exp(x) definiert?

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Stimmt,das habe ich ganz vergessen. Stelle ich bei der Aufgaben mit rein.

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Ist das Bild nun zu sehen ?

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Also bei (i) verwendest du einfach n*x = x + ... + x (n-mal) und Satz 4.2 (a)

Für (ii) musst du a) und 4.2 b) verwenden

Für (iii) musst du etwas "tricksen":

$$ \exp( 1 ) = \exp( n \cdot \frac 1 n) = \exp(\frac 1 n)^n \implies ... $$

und für (iv) musst du jetzt nur r=m/n mit m in Z und n in N wählen, dann ist

$$ \exp( \frac m n) = \exp(m \cdot \frac 1 n) = ... $$

und da dann halt b) und c) drauf anwenden.

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Ich glaube ich habe es jetzt verstanden,Dankeschön für die Mühe !