Zeigen Sie, es gibt ein Primideal...

Question

Seien R ein kommutativer Ring mit 1, S ⊂ R eine (nicht-leere) multiplikativ abgeschlossene Menge und I ⊆ R ein Ideal von R mit I ∩ S = ∅.

Zeigen Sie: es gibt ein Primideal P ⊂ R von R mit I ⊆ P und P ∩ S = ∅.

Hinweis: Zeigen Sie, IR_S ≠ R_S ist ein echtes Ideal von R_S.

Comments

was bedeutet die Notation $R_S$?

MfG

Mister

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R_S heißt lokaler Ring von R in S oder auch Lokalisierung von R in P.

Answer 1

Sei $P$ ein maximales Element der Menge $M$ aller Ideale $Q$
mit $I\subset Q$ und $Q\cap S=\emptyset$. Ich zeige, dass $P$ ein Primideal ist:

Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall wäre, dann gäbe es
$ab\in P$, wobei sowohl $a\notin P$ als auch $b\notin P$ gilt.

$a\notin P\Rightarrow P+Ra\cap S\neq \emptyset$, da $P$ maximal in $M$ ist, ebenso

$b\notin P\Rightarrow P+Rb\cap S\neq \emptyset$, da $P$ maximal in $M$ ist.

seien $s_1\in P+Ra$, etwa $s_1=p_1+r_1a$ und $s_2\in P+Rb$, etwa $s_2=p_2+r_2b$.

Dann ist $s_1s_2\in S$ und $s_1s_2=p_1p_2+p_1r_2b+p_2r_1a+r_1r_2ab\in P$, d.h.

$P\cap S \neq \emptyset$, also $P\notin M$, Widerspruch.

Damit ist bewiesen, dass $P$ prim ist.