Integrale unter Verwendung von Substitutionen berechnen

Question

ich komme mit der Aufgabe d)

Text erkannt:

Berechnet die Werte der folgenden Integrale unter Verwendung der angegebenen Substitutionen:
a) \( \int \limits_{a}^{b} x \sin \left(2 x^{2}\right) \mathrm{d} x \quad \) mit \( u=2 x^{2} \) und \( a=0, b=\sqrt{\pi / 4} \)
b) \( \int \limits_{a}^{b} \frac{9 r^{2}}{\sqrt{1-r^{3}}} \mathrm{~d} r \)
mit \( u=1-r^{3} \) und \( a=-2, b=1 \)
c) \( \int \limits_{a}^{b} 12\left(y^{4}+4 y^{2}+1\right)^{2}\left(y^{3}+2 y\right) \mathrm{d} y \quad \) mit \( u=y^{4}+4 y^{2}+1 \) und \( a=1 / 2, b=3 / 2 \)
d) \( \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{t \sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{~d} t \)
mit \( t=1 / u \) und \( a=3 / 7, b=9 / 7 \)

nicht wirklich klar und würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Wenn du t mit 1/u ersetzt, lautet der zu integrierende Term

\( \frac{u}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}} \)

(Unter der Wurzel lässt sich mit gleichnamig machen noch mehr tun.)

aus t=1/u folgt weiterhin dt/du = -1/u² und somit dt=-du/ u².

Arbeite mal damit.