Streng Monoton oder streng monoton steigend rechnerisch herausfinden

Question

Meine Aufgabe lautet: Untersuchen sie rechnerisch mit Hilfe der ersten Ableitung f‘, wo die Funktion f streng monoton fällt bzw. streng monoton steigt.

a) f(x) = x^2 - 5x + 1 b) f(x)= 1/9x^3-3x c) f(x)= 1/4x^4-2x^2

Ich hab mal die ersten drei Funktionen aufgeschrieben ich muss das noch bei anderen Funktionen machen. Es wäre super lieb wenn einer mir das anhand der gegebnen Funktionen etwas erklären könnte, wie ich genau vorgehen muss. :)

Answer 1

f(x) = x^2 - 5x + 1 ( Parabel )
f ´( x ) = 2x - 5;

Steigend
2x -5 ≥ 0
2x ≥ 5
x ≥ 5/2

fallend
2x -5 ≤ 0
2x ≤ 5
x ≤ 5/2

b) f(x)= 1/9x3-3x
f´ ( x ) = 1/3 * x^2 - 3

Steigend
1/9 * x^2 ≥ 0
x^2 ≥ 9
x ≥ 3
x ≤ -3

Bereiche steigend
-∞ bis -3 und 3 bis ∞
Fallend : das Gegenteil
-3 < x < 3

c) f(x)= 1/4x^4-2x^2
f ´( x ) = 1 * x^3 - 4x
f ´( x ) = x^3 - 4x

steigung = null
x^3 - 4x = 0
Satz vom Nullprodukt
x * ( x^2 - 4 ) = 0
x = 0
und
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = + 2
x = - 2

Nullstellen : 0, +2, -2
Punktprobe
f´( 1 ) = 1^3 - 4*1 = -3 ( fallend )
f ´( 3 ) = 27 - 12 = 15 ( steigend )

Zwischen 0 und +2 ist die Funktion fallend
Zwischen 2 und ∞ ist die Funktion steigend

Die Punktprobe auch mit -1  und -3 durchführen.