Ungleichungen der Exponentialfunktion mit Hilfe der Eigenschaften und Definition

Question

Aufgabe:

a)

1 + x ≤ exp(x) für alle x ∈ ℝ

Defintion: exp(x) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}} \)

Problem:

Die Aufgabe wurde auf der Seite schon gelöst, doch auf einen anderen Weg als den, den ich nehmen muss.

Mit Hilfe der Eigenschaften und Definition der Exponentialfunktion soll die Ungleichung bewiesen werden.

Ansatz:

Fall 1: x ≥ 0

Fall 2: x < -1

Fall 3: -1 < x < 0 (sieht man mit der Restgliedformel exp(x)= 1+x+R₂ elementar ein, indem man R₂=R(x)>0 zeigt)

b) exp(x) ≤ \( \frac{1}{1-x} \)

Folgt mit der Funktionalgleichung aus a)

Answer 1

Fall 1: \( x \ge 0 \)

$$ \bigg(1+\frac{x}{n}\bigg)^n = 1 + x +\sum_{k=2}^n \binom{n}{k} \bigg(\frac{x}{n}\bigg)^k \ge 1 + x $$

Fall2: \( x < 0 \)

$$ \bigg(1+\frac{x}{n}\bigg)^n - 1 = \frac{x}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \bigg( 1 + \frac{x}{n} \bigg)^k $$

Wähle \( n \in \mathbb{N} \) s.d. gilt \( 0 \le 1 + \frac{x}{n} \le 1 \) dann folgt

$$ \bigg(1+\frac{x}{n}\bigg)^n - 1 \ge x $$