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Guten Abend,

Ich soll zwei Ungleichungen beweisen, weiß aber nicht so genau wie.

1. exp(x) > 1+x für x∈ℝ, x≠0

2. ln x > 1- 1/x für x∈ℝ, x>1

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Dankeschön
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Man kann hier verschiedene Methoden der Begründung anwenden. (Auch Taylorreihen, aber davon schreibst du nichts)

Mal eine Antwort zu 1. Behauptung e^x > 1+x  für x≠0

Betrachte die Graphen der beiden Funktionen.

f(x) = e^x und g(x) = x+1       mit f'(x) = e^x und g'(x) = 1

Zuerst zum Ausnahmefall x = 0

In x= 0 gilt f(0)  =e^0 = 1 und g(0) = 1+0 = 0 

Zudem in x = 0:  f '(0) = e^0 = 1      und g'(0) = 1

Also: Die beiden Graphen berühren sich in (0,1).

Sei nun x > 0 

f '(x) = e^x > 1        Die Kurve ist immer steiler als die Gerade. Die beiden Graphen können sich nicht mehr aneinander annähern.

 

Sei nun x < 0 

f '(x) = e^x < 1        Die Kurve ist immer flacher als die Gerade. Die beiden Graphen können sich nicht mehr aneinander annähern.

Fazit: Kurve verläuft ausser in (0,1) oberhalb der Geraden. Also f(x) > g(x) qed.

Illustration: violett und grün: Erste Ungleichung. rot und blau: Zweite Ungleichung.

 

Die 2. Ungleichung lässt sich wohl ähnlich wie die erste beweisen. Eventuell ist es einfacher, wenn du die Graphen an y=x spiegelst und die Umkehrfunktionen betrachtest.

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