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Aufgabe:  Lösen einer Differentialgleichung

y´= 6*x*y+8*y / x-8


Ergebnis soll bsp : Y(x) = B* e^´´´´ *(X-G)^d

Problem/Ansatz:

ich bräuchte einen Ansatz wie ich da so ungefähr vorgehen könnte?


wäre über alle antworten dankbar

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y im Zähler ausklammern und die Variablen neu ordnen im Anschluss Integrierst du bei seiten am besten mit der Substitutions Methode  und erhältst dann dein Ergebnis in der gewünschten Form

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Beste Antwort

Hallo,

y´= ( 6*x*y+8*y / (x-8)   [?]
Ergebnis soll bsp : Y(x) = B* e^´´´´ *(X-G)d

Ich gehe von \(y´= \dfrac{6xy+8y} {x-8} \) aus.

\( y' =\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{6xy+8y}{x-8} = y·\dfrac{6x+8}{x-8}= y·\left(6+\dfrac{48}{x-8}+\dfrac{8}{x-8}\right)= y·\left(6+\dfrac{56}{x-8}\right) \)

Trennung der Variablen (für y≠0, y=0 ist Lösung) :

\( \dfrac{dy}{y}= \left(6+\dfrac{56}{x-8}\right)·dx \)

Integrieren:

\(ln(|y|) =6x+56·ln(|x-8|) + \begin{cases} c_1\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }x>8 \\ c_2\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }x<8 \end{cases}\)

im Folgenden gehe ich einfach mal von D = ] 8, ∞[ aus

e-Funktion anwenden:

\(|y|=e^{6x+56·ln(x-8)+c_1}=e^{6x}·(x-8)^{56}·e^{c_1}\)

\(y = c·e^{6x}·(x-8)^{56}\)    mit c∈ℝ

Über D = ℝ\{8} gibt es für y zwei Funktionsabschnitte, die eine verschiedene Integrationskonstante haben können.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Vielen Dank...!

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