Bestimmen Sie alle Ideale von Z/99Z

Question

Aufgabe:

Sei R der Ring Z/99Z. Bestimmen Sie alle Ideale von R

Kann mir jdm einen Tipp geben wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen kann?

Answer 1

Ein Ideal in jedem Ring ist immer {0}.

Wenn I ein Ideal ist, das 1 enthält , dann ist es der ganze Ring, dieser

ist also Ideal Nr. 2

Jetzt könntest du ja systematisch durchgehen alle Elemente von

2 bis 99 , wie Ideale aussehen, die sei enthalten. Dabei bedenke:

Für alle Ideale gilt: Wenn ein Element von I ein multiplikatives Inverses

im Ring hat, dann ist I=R.

Wenn etwa 2∈I dann ist wegen 2*50=1 mod 99 also I=R.

3 hat kein Inverses , Die Vielfachen von 3 sind 6,9,12,. bis 99=0

bilden also ein drittes Ideal I3.

4 *25=1 mod 99 also  4∈I ==>  I=R , 5 ebenso

Bei 6 betrachte die Vielfachen 6,12 sind also alle in I3 aber

gegen ende 90, 96 , 102=3 zeigt , hier ist auch 3 mit drin, also

6∈I ==>  I=I3.

So kannst du dich weiter durchhangeln, manches wird einfacher,

wenn du bedenkst 99=3*3*11 also alles was kein Vielfaches von

3 oder 11 ist, hat ein Inverses, also wenn das in I ist, ist I=R.

Comments

Vielen Dank! Meine Intuition wäre jetzt auch gewesen, dass alle Teiler von 99  ein Ideal bilden... Gibt es eine Möglichkeit das zu beweisen ohne alle Elemente durchzugehen?

Und könntest du vielleicht noch kurz an dem Beispiel 7 erklären, warum das kein Ideal ist? Da stehe ich doch noch auf dem Schlauch

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Und könntest du vielleicht noch kurz an dem Beispiel 7 erklären, warum das kein Ideal ist?

7 hat ein Inverses; denn 7*85=595 = 6*99+1

also 7*85 = 1. Damit ist auch 1 in jedem Ideal, in dem die 7 ist.

Und ein Ideal, das die 1 enthält ist der ganze Ring; denn nach

Def. des Ideals muss ja ein Ideal I mit jedem x∈I auch

für alle r∈R die Produkte r*x enthalten.

Wenn also 1∈I dann auch alle r*1 = r aus I, also

I der ganze Ring.

"dass alle Teiler von 99  ein Ideal bilden."  So einfach ist es nicht,

denn 9 und 11 sind Teiler von 99, aber ihre Differenz ist 2 wäre

also auch in diesem Ideal und damit (s.o.) wäre es der ganze Ring.

Vielleicht gilt sowas: Alle Vielfachen von 3 bilden ein

Ideal und auch alle Vielfachen von 9. (Das wäre dann da drin enthalten.

Und die Vielfachen von 11 bilden ein anderes Ideal.