Vektoren, erzeugend, linear unabhängig!

Question

Aufgabe:

Wie stelle ich in jedem Fall fest, ob die angegebenen Vektoren erzeugend und/oder linear unabhängig sind.
1) (0,-2,0),(2,0,1),(-2,0,1) im \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \).
2) (1,-1,0),(0,0,0),(-1,1,-1) im \( \mathbb{F}_{3} \) -Vektorraum \( \left(\mathbb{F}_{3}\right)^{3} \).
3) \( \frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11} \) im \( \mathbb{Q} \) -Vektorraum \( \mathbb{R} \).

Problem/Ansatz:

Soll ich die Vektoren als Gleichungssystem wechseln und dann beweisen oder gibt es andere Möglichkeit, und falls ja könnte mir jemand erklären wie ich das machen muss?

Vielen Dank im Voraus! :)

Answer 1

Gegeben ist ein Körper \(K\), ein \(K\)-Vektorraum \(V\) und Vektoren \(v_1,\dots,v_n\in V\).

Die Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) sind linear unabhängig, wenn die Gleichung

        \(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iv_i = 0\)

genau eine Lösung hat.

Um zu prüfen ob \(\frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11} \) linear unabhängig ist, bestimmt man die Lösungen der Gleichung

  \(x\cdot \frac{1}{3} + y\cdot\frac{4}{5} + z\cdot\frac{7}{11} = 0\).

Gibt es nur eine einzige (nämlich \(x=y=z=0\)), dann sind \(\frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11} \) linear unabhängig.

Die Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) erzeugen \(V\), wenn die Gleichung

        \(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iv_i = v\)

für jedes \(v\in V\) eine Lösung hat.

Um zu prüfen ob \(\frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11} \) den \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\) erzeugen, bestimmt man die Lösungen der Gleichung

      \(x\cdot \frac{1}{3} + y\cdot\frac{4}{5} + z\cdot\frac{7}{11} = r\).

Gibt es eine Lösung, dann erzeugt \(\frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11} \) den \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\).

Comments

Danke, und bei 1. und 2. muss ich genauso machen oder geht es mit dem Gleichungssystem?!

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Bei 1. bestimmt man die Lösungen der Gleichung

        x·(0,-2,0) + y·(2,0,1) + z·(-2,0,1) = (0,0,0).

Wie du die Lösungen dieser Gleichung bestimmst, ist dir überlassen.

Eine Möglichkeit ist, die Gleichung in ein Gleichungssystem

        x·0 + y·2 + z·(-2) = 0
        x·(-2) + y·0 + z·0 = 0
        x·0 + y·1 + z·1 = 0

zu überführen und das Gleichungssystem zu lösen.