LGS mit frei wählbarer Variable

Question

Aufgabe:

Gebe die Lösung des LGS an. Ist das GS nicht eindeutig lösbar, setze die von dir gewählte frei wählbare Variable gleich t, damit deine Lösung vom System richtig korrigiert werden kann. Verwende Brüche und keine gerundeten Werte.

$$\begin{pmatrix} 5 & 8 &| -32 \\ -10 & -16 & |64 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht welche Variable ich durch t ersetzen soll und mir ist auch unklar wie meine Lösung vom System korrigiert werden kann.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du das Doppelte der ersten Zeile zu der zweiten Zeile addierst, erhältst du eine Nullzeile.$$\begin{array}{rrr}x_1 & x_2 & =\\\hline5 & 8 & -32\\-10 & -16 & 64\\\hline5 & 8 & -32\\0 & 0 & 0\\\hline\hline\end{array}$$Die zweite Gleichung lautet:$$0x_1+0x_2=0$$

und ist für alle $(x_1;x_2)$ immer erfüllt. Daher ist das Gleichungssystem lösbar.

Zur Lösung haben wir allerdings nur noch eine Gleichung übrig:$$5x_1+8x_2=-32$$Das heißt, wir können eine Variable völlig frei wählen, z.B. $x_1$. Die andere Variable ist dann aber durch die Gleichung fest vorgegeben:$$8x_2=-32-5x_1\implies x_2=-4-\frac{5}{8}x_1$$Damit können wir alle Lösungspunkte angeben:

$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1}{-4-\frac{5}{8}x_1}=\binom{0}{-4}+x_1\binom{1}{-\frac{5}{8}}$$

Da du für $x_1$ alle Zahlen aus $\mathbb R$ einsetzen darfst, kannst du auch eine neue Variable definieren. Bei der Gelegenheit würde ich noch $\frac{1}{8}$ ausklammern, das gibt ganze Zahlen:

$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{-4}+\frac{x_1}{8}\binom{8}{-5}$$

Mit $t\coloneqq\frac{x_1}{8}$ lauten dann alle Lösungen:

$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{-4}+t\cdot\binom{8}{-5}\quad;\quad t\in\mathbb R$$

Comments

Salve!

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Soweit habe ich deinen Rechenweg nachvollziehen können. Allerdings kann ich bei der Aufgabe nur ganze Zahlen ins Lösungsfeld eintragen. Wenn ich für x₁ eine 8 einsetze müsste ja $$\begin{pmatrix} 8\\-9 \end{pmatrix}$$ rauskommen. Ist das so korrekt oder ist ein anderes Ergebnis besser?

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Es gibt ja unendlich viele Lösungen, keine ist besser als die andere. Die naheliegendste Lösung wäre die für $t=0$, also $\binom{0}{-4}$. Deine Lösung $\binom{8}{-9}$ ist die für $t=1$, sie ist genauso richtig, wie eine für jedes andere $t$.

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Deswegen bin ich auch ein bisschen verwundert warum bei der Aufgabe nach einer bestimmten Ergebnis gefragt wird. Ich kann nämlich nur die Lösung angeben und nicht den Rechenweg. Vielleicht wird bei jeder von mir eingetragenen Ergebnis geprüft ob das Verhältnis zwischen x und y stimmt. Ich werde es einfach mit dem nahe liegenden versuchen. Danke nochmal :-)

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Leider ist keine der Antworten richtig. Auch nicht die ausgeschrieben Variante $$\begin{pmatrix} 0\\-4 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 8\\-5 \end{pmatrix}$$

Hast du vielleicht noch eine Idee?

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Da steht, ihr sollt Brüche beim Eingeben des Ergebnisses verwenden. Vielleicht sollt ihr das Ergebnis also in Form einer Funktionsgleichung eingeben?$$y=-\frac{5}{8}x-4$$Da kommt ein Bruch drin vor.

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Das wars! Und ich musste t für x einsetzen und nicht 0. Dickes merci!