Der Trick liegt darin, die Örter der beiden Fahrzeuge abhängig vom Betrachtungszeitpunkt t zu machen.
Wenn beide Fahrzeuge an den Orten P1 ( x1, y1 ) bzw. P2 ( x2 | y2 ) still ständen, dann wäre ihr Abstand D gemäß dem Satz des Pythagoras:
$$D=\sqrt { { { (x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) }^{ 2 }+{ ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }^{ 2 } }$$
Verändern sich die Orte aber mit der Zeit t dann muss diese Formel so aussehen:
$$D(t)=\sqrt { { { (x }_{ 2 }(t)-{ x }_{ 1 }(t)) }^{ 2 }+{ ({ y }_{ 2 }(t)-{ y }_{ 1 }(t)) }^{ 2 } }$$
Die x - und y - Koordinaten sind nun also nicht mehr konstant, sondern sie sind Funktionen der Zeit t.
Wie bestimmt man nun diese Funktionen im vorliegenden Beispielfall?
Nun, am einfachsten ist es, die Kreuzung in den Ursprung eines Koordinatensystems zu legen und die Fahrzeuge auf der x - Achse von links nach rechts bzw. auf der y - Achse von unten nach oben fahren zu lassen.
Für das Fahrzeug 1 auf der x - Achse gilt dann:
$${ y }_{ 1 }(t)=0$$
da sich die y - Koordinate während der Fahrt nicht verändert, denn das Fahrzeug bleibt ja auf der x-Achse. Seine y - Koordinate ist daher zu jedem Zeitpunkt t gleich Null.
Für die x - Koordinate gilt:
$${ x }_{ 1 }(t)=-10km+140km/h*t$$
denn zu Beginn befindet sich das Fahrzeug 10 km von der Kreuzung entfernt (also bei x = - 10 ) und nähert sich dieser mit 140 km/h.
Für das Fahrzeug 2 auf der y - Achse gilt hingegen:
$${ x }_{ 2 }(t)=0$$
da sich die x - Koordinate während der Fahrt nicht verändert, denn das Fahrzeug bleibt ja auf der y-Achse. Seine x - Koordinate ist daher zu jedem Zeitpunkt t gleich Null.
Für die y - Koordinate gilt:
$$y_{ 2 }(t)=-6km+112km/h*t$$
denn zu Beginn befindet sich das Fahrzeug 6 km von der Kreuzung entfernt ( also bei y = - 6 ) und nähert sich dieser mit 112 km/h.
Setzt man dies nun in die Abstandsformel D ( t ) ein (siehe oben) , so erhält man:
$$D(t)=\sqrt { { { ( }0-(-10+140t)) }^{ 2 }+{ ((-6+112t)-0) }^{ 2 } }$$$$=\sqrt { { { ( }10-140t) }^{ 2 }+{ (-6+112t) }^{ 2 } }$$$$=\sqrt { { 100-2800t+19600t }^{ 2 }+{ 36-1344t+12544t }^{ 2 } }$$$$=\sqrt { { 32144{ t }^{ 2 }-4144t+136 } }$$
Um nun den Zeitpunkt t0 zu bestimmen, an dem die Fahrzeuge den geringsten Abstand zueinander haben, muss man die Ableitung D ' ( t ) bestimmen, diese gleich Null setzen und nach t auflösen.
$$D'(t)=\frac { 64288t-4144 }{ 2\sqrt { t({ 32144{ t }-4144)+136 } } } =0$$$$\Leftrightarrow 64288t=4144$$$$\Leftrightarrow t=4144/64288$$$$\Leftrightarrow t=\frac { 37 }{ 574 }$$
Also: Nach t = 37 / 574 Stunden haben die Fahrzeuge ihren geringsten Abstand erreicht. Dieser beträgt dann:
$$D(\frac { 37 }{ 574 } )=\sqrt { { 32144({ \frac { 37 }{ 574 } ) }^{ 2 }-4144\frac { 37 }{ 574 } +136 } }=1,5617 km$$
