Question

Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) Sind v, w ∈ V \ {0} mit v ∈ 〈w〉, so gilt auch w ∈ 〈v〉.
(ii) Sind A und B Teilmengen von V mit A ⊆ 〈B〉, so gilt 〈A〉 ⊆ 〈B〉.
(iii) Für alle Teilmengen A und B von V gilt 〈A ∩ B〉 = 〈Ai ∩ 〈B〉.
(iv) Sind A und B Teilmengen mit 〈A ∪ B〉 = 〈A〉 ∪ 〈B〉, so gilt 〈A〉 ⊆ 〈B〉 oder 〈B〉 ⊆ 〈A〉.
(v) Jeder Untervektorraum U von V ist Span einer Teilmenge A ⊆ V .

Answer 1

Sind v, w ∈ V \ {0} mit v ∈ 〈w〉, so gilt auch w ∈ 〈v〉.

Bew.: Seien v, w ∈ V \ {0} mit v ∈ 〈w〉

==>   Es gibt x∈K mit x*w = v .

Wegen v, w ∈ V \ {0} folgt x≠0 , also

folgt auch w =  (1/x) *v ==>    w∈ 〈v〉.

(ii) Sind A und B Teilmengen von V mit A ⊆ 〈B〉, so gilt 〈A〉 ⊆ 〈B〉.

stimmt auch: Sei A ⊆ 〈B〉 . Da <B> ein Unterraum ist,

der alle Elemente von A enthält, enthält er

(wegen der Abgeschlossenheit) auch alle Linearkombinationen

von Elementen von A, und damit <A>.

(iii)  Soll das vielleicht heißen  〈A ∩ B〉 = 〈A〉 ∩ 〈B〉

dann stimmt es wohl

Comments

und (iv) (v)???

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Für (v) hätte ich auch eine Idee:

Sei U ein Untervektorraum von V

==>  U besitz eine Basis A, die ist eine Teilmenge von V

              und < A > = U

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UND (iv) ich habe es nichts?

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Zu (iv) ist mir auch noch ne Idee gekommen:

Angenommen es ist weder 〈A〉 ⊆ 〈B〉 noch  〈B〉 ⊆ 〈A〉

==>  Es gibt ein x ∈ 〈A〉  und x ∉  〈B〉   ( weil 〈A〉 ⊆ 〈B〉 falsch ist ) #

und   Es gibt ein y ∈ 〈B〉 und y ∉  〈A〉  ( weil   〈B〉  ⊆ 〈A〉 falsch ist ). ##

Dann sind sowohl x als auch y in  〈A〉 ∪ 〈B〉 ,

wegen 〈A ∪ B〉 = 〈A〉 ∪ 〈B〉 also  sowohl x als auch y in   〈A ∪ B〉

Da 〈A ∪ B〉  ein Unterraum ist, also auch      x+y in 〈A ∪ B〉 .

Wegen 〈A ∪ B〉 = 〈A〉 ∪ 〈B〉 )   also

x+y ∈ 〈A〉 oder  x+y ∈ 〈B〉

Weil 〈A〉 ein Unterraum ist, der x+y und x enthält, folgt

           x+y-x  = y  ∈  〈A〉   im Widerspruch zu ##.

oder: Weil 〈B〉 ein Unterraum ist, der x+y und y enthält, folgt

          x+y-y = x  ∈  〈B〉  im Widerspruch zu #.

Somit führen die Annahmen # und ## jeweils zu einem

Widerspruch, also sind beide falsch, somit   gilt

〈A〉 ⊆ 〈B〉 oder 〈B〉 ⊆ 〈A〉.