Bestimmen sie Basis und Dimension von U. (Gauß)

Question

Aufgabe:
Sei V =Q^{3} und t ∈ Q. Betrachten Sie den Unterraum U_{t}= <(1, t, 0), (t, t + 1, −1), (t + 2, 2, 1)> von V.

Bestimmen sie Basis und Dimension von U (in Abh. von t).

Problem/Ansatz:
Mein "Ansatz" ist das ganze mit Gauß-Umformungen zu versuchen aber ich habe jetzt bestimmt eine 3/4 Stunde rumgerechnet und komme nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich was ich vlt. übersehe?

$$\begin{pmatrix} 1 & t & 0\\t & t+1 & -1\\ t+2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Hallo

Gauss ist ne gute Idee, aber einfacher  hinten die Nullen erzeugen als vorm 1. Schritt 2 +3

dann musst du nur noch in der Mitte eine 0 erzeugen.

Gruß lul

Comments

Hey ich verstehe leider nicht ganz was du meinst

Answer 2

$$\begin{pmatrix} 1 & t & 0\\t & t+1 & -1\\ t+2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

2.Zeile + 3.Zeile

$$\begin{pmatrix} 1 & t & 0\\2t+2 & t+3 & 0\\ t+2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

2.Zeile - 1.Zeile

$$\begin{pmatrix} 1 & t & 0\\2t+1 & 3 & 0\\ t+2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

3*1.Zeile minus t*2.Zeile

$$\begin{pmatrix}  3-2t^2-t & 0 & 0\\2t+1 & 3 & 0\\ t+2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Für 3-2t^2-t ≠0 ist dim=3

und 3-2t^2-t =0  für t= 1  oder t= -3/2

dann dim = 2

Comments

Hey danke dir schon mal,

aber reicht das so als Lösung? Ich hab verzweifelt versucht irgendwie einen Vektor komplett wegzubekommen. Oder hat das auch etwas damit zu tun die Matrix auf die (obere) Dreicksform gebracht zu haben?

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Da ich in der nächsten Aufgabe auch eine Basis/Dimension von V/U in Abh. von t bestimmten soll dachte ich, ich muss das EZsys auf jeden Fall auf eine Basis mit 2 Vektoren reduzieren.

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Wenn 3-2t2-t =0 dann hast du doch eine 0_zeile