Grenzwert Funktionen: Epsilon-Delta Kriterium

Question

Aufgabe:

Wir sollen den Grenzwert einer Funktion, mithilfe des Epsilon-Delta Kriteriums beweisen:

Text erkannt:

$$\lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}+x-6}=\frac{1}{5}$$
Wir stellen zunächst fest, dass für alle $x$ des Definitionsbereiches unserer Funktion $\frac{x-2}{x^{2}+x-6}=$ $\frac{1}{x+3}$ gilt. Gegeben sei nun ein $\varepsilon>0 .$ Um unsere Behauptung zu zeigen, müssen wir ein $\delta>0$ bestimmen, so dass $\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5} \mid<\varepsilon$ für alle $x \neq 2$ mit $|x-2|<\delta$ gilt. O.B.d.A. sei $\varepsilon<\frac{1}{5}$. Wir setzen $\delta=\frac{5 \varepsilon}{\varepsilon+\frac{1}{5}}$
Es sei $|x-2|<\delta .$ Im Fall $x<2$ folgt $2-x<\frac{5 \varepsilon}{\varepsilon+\frac{1}{5}}=5-\frac{1}{\varepsilon+\frac{1}{5}}$ und daraus $\left|\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5}<\varepsilon$
Im Fall $x>2$ folgt $x-2<\frac{5 \varepsilon}{\varepsilon+\frac{1}{5}} \leqslant \frac{5 \varepsilon}{\frac{1}{5}-\varepsilon}=\frac{1}{\frac{1}{5}-\varepsilon}-5$ und daraus $\left|\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}-\frac{1}{x+3}<\varepsilon$

Kann mir jemand erklären wie man auf das epsilon bzw. delta kommen soll?

Vielen Dank!