Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

f(x1,x2)=2+4x2−2x21−2x1x2−6x22+2x21x2
an der Stelle (x1,x2)=(1,−2).

Problem/Ansatz:

Bilde die Einträge der Hesse-Matrix f′′(1,−2)!

Bilde die Determinante dieser Hesse-Matrix!

An dieser Stelle ist die Funktion:

f.1. konvex

f.2. konkav

f.3. weder konvex noch konkav

Ich habe bei der partiellen Ableitung nach 1. Ordnung folgendes erhalten: f1 = -4x1 - 2x2 + 4x1x2 und bei f2 = 4 - 2x1 - 12x2 + 2x1² 
Bei der partiellen Ableitung nach 2. Ordnung habe ich f1` = -4 + 4x2 und bei f2` = -12.

Ich mache irgendwo ein Fehler, aber weiß nicht genau wo, weil ich die Werte 1 und -2 in die 2. Ableitung nicht einsetzen kann. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen. Und ich habe die Frage: An dieser Stelle ist die Funktion f.1. konvex nicht ganz verstanden, was meint man damit? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

f(x, y) = 2 + 4·y - 2·x^2 - 2·x·y - 6·y^2 + 2·x^2·y

Gradient

f'(x, y) = [4·x·y - 4·x - 2·y, 2·x^2 - 2·x - 12·y + 4]

Hesse-Matrix

f''(x, y) = [4·y - 4, 4·x - 2; 4·x - 2, -12]

Comments

also lautet die Hesse - Matrix, dann f`` (1, -2) = ( -4        2

                                                                             2       -12)

Stimmt das so?

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Fast mein Rechner kommt auf

[-12, 2;
2, -12]