vektoren und lineare gleichungssysteme

Question

Sei Gerade g durch die Parameterdarstellung \( \begin{pmatrix} 8\\0\\0 \end{pmatrix} \) + a * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

und Gerade h durch die Parameterdarstellung \( \begin{pmatrix} 0\\-6\\0 \end{pmatrix} \) + b * \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) gegeben

Welche Gleichungen mussen die Parameter s und t erfüllen, damit die Strecke von

\( \begin{pmatrix} 8\\0\\0 \end{pmatrix} \) + a * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) zu \( \begin{pmatrix} 0\\-6\\0 \end{pmatrix} \) + b * \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) senkrecht zu g und h ist?

Comments

Die Parameter s und t tauchen bei dir gar nicht auf, nur a und b.

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\(  \begin{pmatrix} -8\\-6\\0 \end{pmatrix} \)* \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)+ b * \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)* \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) - a * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\) * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)=0

gibt -2+0*b-2a = 0

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Ja sollte a und b heißen. Ein Tippfehler

Answer 1

\( \begin{pmatrix} 0\\-6\\0 \end{pmatrix} \) + b * \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) - \( (\begin{pmatrix} 8\\0\\0 \end{pmatrix} \) + a * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}) \)

\( = \begin{pmatrix} -8\\-6\\0 \end{pmatrix} \) + b * \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) -  a * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\)

muss mit \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) und mit \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) das Skalarprodukt 0 haben. Das gibt

-2-2a = 0    und -14+ 3b = 0

also a= -1   und b = 14/3

Comments

können Sie bitte nochmal erklären was der letzte part bedeutet, wie Sie darauf kommen

-2-2a = 0    und -14+ 3b = 0

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Du musst einmal das Skalarprodukt bilden von

\( = \begin{pmatrix} -8\\-6\\0 \end{pmatrix} \) + b * \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) - a * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\)  und \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

Und das =0 setzen.  Das gibt

$$ \begin{pmatrix} -8\\-6\\0 \end{pmatrix} *  \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} + b * \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} - a*\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} =0$$

und wenn du die Skalarprodukte der Vektoren ausrechnest gibt das beim ersten

(-8)*1+(-6)*(-1) +0*0 = -2 , also bleibt da nur die -2 , und beim zweiten

gibt es 0 und beim dritten 2, also zusammen

-2 +0 -2a = 0 .