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Hi! 
Ich habe ein Problem mit einer Mathe Aufgabe, es geht hier um Nr. 7 b) Ich schicke ein Foto der Aufgabe wegen der Grafik.

5f2dcd42-f369-4b43-b6eb-0c849278e412.jpg


Mein Ansatz: 
Ich wollte eine Ebenengleichung aufstellen mit den Punkten E, S1 und S2 und eine Geradengleichung mit den Punkten B und H  (Ich habe meine Ebenengleichung und Geradengleichung als Foto mitgeschickt)
Hier sind alle Punkte gegeben und Punkt H kann man durch A,B und G praktisch ablesen.
      
Jetzt Gerade und Ebene gleichsetzten und den Durchstoß / Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene berechnen.
Dieser Durchstoßpunkt ist dann ja in Abhängigkeit vom Parameter "h" und sollte Fh sein.

Ich schaffe es aber nicht das LGS aufzulösen meine Lösungen sind nicht richtig oder es geht irgendwie nichts mehr auf oder oder oder…

Meine Frage, ist mein Ansatz falsch? Hat jemand einen anderen? Oder könnte mir jemand zeigen wie man das ausrechnet? 

  Ebenengleichung.png 
Ebenengleichung.png

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Beste Antwort

du kannst es auch anders machen. Hier mal mein Vorschlag dazu. Betrachte zunächst die Ebene von Oben. Jetzt wird die Ebene so gekippt, sodass Punkt F nach unten wandert und E nach oben. Was wirst du sehen? Richtig. Die von E zu S1 und S2 ausgehenden Seiten schließen in E einen immer größeren Winkel ein und die von F ausgehenden Seiten einen immer spitzeren Winkel. Man hat also einen Drachen als Grundfläche, da die Ebene an der Strecke S1S2 gedreht wird.

Drachen.png

Nun kann man also eine Geradengleichung aufstellen, die durch den Mittelpunkt dieser Strecke geht und durch E. Sie lautet dann

$$ g:\vec{x}=\begin{pmatrix}h\\h\\4h\end{pmatrix}+w\cdot\begin{pmatrix}5-h\\5-h\\4-4h\end{pmatrix} $$

Diese Gerade wird auch in einem Punkt die Strecke schneiden, welche durch B und die von schräg oben betrachtet dem Betrachter am nächsten liegende Ecke, K(8/8/8) verläuft. Durch ihr verläuft folgende Gerade:

$$ k:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\8\end{pmatrix} $$

Nun werden beide Geraden gleichgesetzt, um ihren gemeinsamen Schnittpunkt zu ermitteln:

$$ \begin{aligned}g&=h\\\begin{pmatrix}h\\h\\4h\end{pmatrix}+w\cdot\begin{pmatrix}5-h\\5-h\\4-4h\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\8\end{pmatrix} \\t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-8\end{pmatrix}+w\cdot\begin{pmatrix}5-h\\5-h\\4-4h\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}10-h\\10-h\\-4h\end{pmatrix}\end{aligned} $$ Dann hat man folgendes LGS zu lösen. Habe dabei noch schonmal die dritte Zeile durch -4 geteilt.

$$ \begin{aligned}&1.)\quad 2t+(5-h)w&&=10-h \\&2.)\quad 2t+(5-h)w&&=10-h \quad |1.)-2.) \\&3.) \quad 2t+(-1+h)w&&=h \quad |1.)-3.) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&1.)\quad2t+(5-h)w&&=10-h \\&2.)\quad0&&=0 \\&3.)\quad  (6-2h)w&&=10-2h \end{aligned}\\\Leftrightarrow w=\frac{h-5}{h-3}  $$

w in 1.) ergibt dann :

$$ t=\frac{3h-5}{2h-6} $$

Jeweils in beide Geradengleichungen eingesetzt bekommt man:

$$ g:\vec{x}=\begin{pmatrix}h\\h\\4h\end{pmatrix}+\frac{h-5}{h-3}\cdot\begin{pmatrix}5-h\\5-h\\4-4h\end{pmatrix}=\frac{1}{h-3}\begin{pmatrix} 7h-25\\7h-25\\12h-20 \end{pmatrix} $$

$$ k:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}+\frac{3h-5}{2h-6}\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\8\end{pmatrix}=\frac{1}{h-3}\begin{pmatrix} 7h-25\\7h-25\\12h-20 \end{pmatrix} $$

Dieser Schnittpunkt entspricht dem Punkt

$$ F_h\Bigg(\frac{7h-25}{h-3}\Bigg|\frac{7h-25}{h-3}\Bigg|\frac{12h-20}{h-3}\Bigg) $$


Nun zu deiner Idee. Sie klappt auch. Du musst nur ein LGS lösen. Ansatz:

$$ E=g $$

$$ \begin{pmatrix}h\\h\\4h\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}9-h\\1-h\\4-4h\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1-h\\9-h\\4-4h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\-2\\8\end{pmatrix} $$

$$ \Leftrightarrow\\t\begin{pmatrix}2\\2\\-8\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}9-h\\1-h\\4-4h\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1-h\\9-h\\4-4h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10-h\\10-h\\-4h\end{pmatrix}  $$

$$\begin{aligned} &1.)\quad 2t+(9-h)r+(1-h)s&&=10-h\\&2.)\quad2t+(1-h)r+(9-h)s&&=10-h \\&3.)\quad-8t+(4-4h)r+(4-4h)s&&=-4h\quad |:(-4) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &1.)\quad 2t+(9-h)r+(1-h)s&&=10-h\\&2.)\quad2t+(1-h)r+(9-h)s&&=10-h\quad| 1.)-2.) \\&3.)\quad2t+(-1+h)r+(-1+h)s&&=h\quad |1.)-3.) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &1.)\quad 2t+(9-h)r+(1-h)s&&=10-h\\&2.)\quad0+8r+(-8)s&&=0\\&3.)\quad0+(10-2h)r+(2-2h)s&&=10-2h\quad |:2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &1.) \quad2t+(9-h)r+(1-h)s&&=10-h\\&2.)\quad0+8r+(-8)s&&=0\\&3.)\quad0+(5-h)r+(1-h)s&&=5-h\quad |(5-h)\cdot 2.)-8\cdot3.) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &1.) \quad2t+(9-h)r+(1-h)s&&=10-h\\&2.)\quad0+8r+(-8)s&&=0\\&3.)\quad0+0r+(-48+16h)s&&=-40+8h\quad|:(-48+16h)) \end{aligned}\\s=\frac{h-5}{2h-6}\stackrel{2.)}{=}r\\ t=\frac{5-7h}{2h-6}$$

Durch Probeeinsetzung sieht man, dass eine wahre Aussage erzielt wird.

$$ \begin{pmatrix}h\\h\\4h\end{pmatrix}+\frac{h-5}{2h-6}\begin{pmatrix}9-h\\1-h\\4-4h\end{pmatrix}+\frac{h-5}{2h-6}\begin{pmatrix}1-h\\9-h\\4-4h\end{pmatrix}=\frac{1}{h-3}\begin{pmatrix} 7h-25\\7h-25\\12h-20 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}+\frac{5-7h}{2h-6}\begin{pmatrix}-2\\-2\\8\end{pmatrix}=\frac{1}{h-3}\begin{pmatrix} 7h-25\\7h-25\\12h-20 \end{pmatrix} $$

Und man erhält auch hier wieder:

$$ F_h\Bigg(\frac{7h-25}{h-3}\Bigg|\frac{7h-25}{h-3}\Bigg|\frac{12h-20}{h-3}\Bigg) $$

Fertig.

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Hi!! 
Dankeschön für die viele Mühe und ganze Arbeit, wirklich ! 
Ich werde beide Ansätze zu Wort bringen :) 

Eine Frage noch, ich verstehe die Umformung der dritten Zeile hier nicht ganz
Unbenannt.PNG 

Wie kommt man von der oberen 3ten Zeile auf die untere?
Ist es (5-h)"mal"2.) -[ 8 "mal" 3.)]

Ich bin nicht sicher, ob ich die Zeichen richtig verstehe und ob es ein mal Punkt ist oder nicht... Sorry 


Ja, du verstehst goldrichtig. :)

Ja, hätte doch lieber Buchstaben für die Bezeichnung der Gleichungen nehmen sollen. xD

Und Aufgabenteil d)? 
Was wäre dein Ansatz?
Ich habe da raus dass h von -1 bis 5/3 geht.

Ich habe die x1 bzw. x2 Koordiante (ist ja das gleiche) einmal mit 10 gleichgesetzt (weil B x1 Koordinate und x2 Koordinate 10 ist) und einmal mit 8 (weil H bx1 Koordinate und x2 Koordinate 8 ist)

Es reicht vollkommen, wenn du nur die x3- Komponente jeweils mit 0 und 8 gleichgesetzt hättest. Das wäre nur zwei statt vier zu lösende Gleichungen. Also

$$ \frac{12h-20}{h-3}=0 \Leftrightarrow 12h-30=0 \Leftrightarrow h=\frac{5}{3}$$

$$ \frac{12h-20}{h-3}=8 \Leftrightarrow 12h-20=8h-24 \Leftrightarrow 4h=-4 \Leftrightarrow h=-1$$

Das bedeutet also für h:

$$ h \in\Big[-1,\frac{5}{3} \Big] $$

Deine Lösung stimmt also auch.

Gerade mal deinen Ansatz durchgelesen, dass ist ja mega Genius.

Darf man fragen wer du bist? (Ich hoffe ich darf du schreiben) 

Mathe studiert oder was...? 

Also, um es mal so zu sagen. Man braucht kein Mathestudium in Reinkultur, um Probleme dieser Art lösen zu können. Es ist eher die Erfahrung an Aufgaben, die man so hatte. Je vielfältiger diese Erfahrung ist, desto besser ist das Gefühl, um zu wissen, was zu tun ist. Aber um deine Frage zu beantworten. Ja, ich studiere Mathe. Aber das Mathestudium befasst sich nicht ausschließlich nur mit sowas. Das was du bei diesen Aufgaben machst, ist die Mathematik als Problemlösung anzuwenden. Im Mathestudium geht es sehr stark um die Theorie. An einer Fachhochschule macht man Mathematik in angewandterer Form und an einer Hochschule geht es eben um die Theorieentwicklung.

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